NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 325 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Należy tutaj rozwinąć sześć trójmianów zapisanych kanonicznie do postaci ogólnej i dla każdego obliczyć wyróżnik z otrzymanych współczynników.

6 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwijamy kwadraty i dla otrzymanej postaci $ax^2+bx+c$ obliczamy $\Delta=b^2-4ac$ .

a) $f(x)=x^2-x-\frac{11}{4}$ , więc $\Delta=1+11=12$ .

b) $f(x)=-x^2+8x-11$ , więc $\Delta=64-44=20$ .

c) $f(x)=2x^2-12x+4$ , więc $\Delta=144-32=112$ .

d) $f(x)=-3x^2-12x-4$ , więc $\Delta=144-48=96$ .

e) $f(x)=-\frac12x^2+2x$ , więc $\Delta=4$ .

f) $f(x)=\frac23x^2-4x-3$ , więc $\Delta=16-4\cdot\frac23\cdot(-3)=24$ .

Odpowiedź

a) $f(x)=x^2-x-\frac{11}{4}$ , $\Delta=12$ ;
b) $f(x)=-x^2+8x-11$ , $\Delta=20$ ;
c) $f(x)=2x^2-12x+4$ , $\Delta=112$ ;
d) $f(x)=-3x^2-12x-4$ , $\Delta=96$ ;
e) $f(x)=-\frac12x^2+2x$ , $\Delta=4$ ;
f) $f(x)=\frac23x^2-4x-3$ , $\Delta=24$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

To ćwiczenie sprawdza, czy potrafisz dla dziewięciu funkcji obliczyć wierzchołki ze wzorów wykorzystujących współczynniki i wyróżnik, a następnie zapisać ich postacie kanoniczne.

9 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ze wzorów $x_w=-\frac{b}{2a}$ i $y_w=-\frac{\Delta}{4a}$ otrzymujemy wierzchołek $W(p,q)$ , a następnie zapis $f(x)=a(x-p)^2+q$ .

podpunkt	$W(p,q)$	postać kanoniczna
a)	$(-1,2)$	$(x+1)^2+2$
b)	$(2,-6)$	$(x-2)^2-6$
c)	$(-1,2)$	$-(x+1)^2+2$
d)	$(1,5)$	$-4(x-1)^2+5$
e)	$(-2,-15)$	$2(x+2)^2-15$
f)	$(-\frac32,\frac{13}{2})$	$-2(x+\frac32)^2+\frac{13}{2}$
g)	$(\frac12,-\frac14)$	$(x-\frac12)^2-\frac14$
h)	$(\frac32,\frac92)$	$-2(x-\frac32)^2+\frac92$
i)	$(0,-8)$	$3x^2-8$

Rozwinięcie każdej postaci z ostatniej kolumny daje trójmian z treści.

Odpowiedź

Wierzchołki i postacie kanoniczne zestawiono w tabeli w rozwiązaniu.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Głównym celem jest to, by w trzech trójmianach znaleźć odciętą wierzchołka ze współczynników, obliczyć odpowiadającą wartość funkcji i podać współrzędne punktu.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Stosujemy $x_w=-\frac{b}{2a}$ i $y_w=f(x_w)$ .

a) $x_w=-\frac6{4}=-\frac32$ oraz

=-\frac{15}{2}.$$ **b)** $x_w=-\frac{-1}{2\cdot\frac12}=1$ oraz $f(1)=\frac12-1+4=\frac72$. **c)** $x_w=-\frac{-6}{2(-3)}=-1$ oraz $f(-1)=-3+6=3$.

Odpowiedź

a) $W(-\frac32,-\frac{15}{2})$ ; b) $W(1,\frac72)$ ; c) $W(-1,3)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Pracujemy tutaj nad tym, jak trzy funkcje w postaci ogólnej przekształcić przez uzupełnianie kwadratu do postaci kanonicznej i naszkicować je jako przesunięcia parabol bazowych.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Uzupełniamy do kwadratu.

a) $f(x)=x^2+2x+4=(x+1)^2+3.$ Jest to parabola $y=x^2$ przesunięta o wektor $[-1,3]$ ; jej wierzchołek to $W(-1,3)$ .

b) $f(x)=-x^2-6x-12=-(x+3)^2-3.$ Jest to parabola $y=-x^2$ przesunięta o wektor $[-3,-3]$ ; jej wierzchołek to $W(-3,-3)$ .

c) $f(x)=-x^2+4x=-(x-2)^2+4.$ Jest to parabola $y=-x^2$ przesunięta o wektor $[2,4]$ ; jej wierzchołek to $W(2,4)$ .

Do szkicu wystarczy w każdym przypadku zaznaczyć wierzchołek, oś symetrii $x=p$ i po jednej parze punktów symetrycznych względem tej osi.

Odpowiedź

a) $f(x)=(x+1)^2+3$ ;
b) $f(x)=-(x+3)^2-3$ ;
c) $f(x)=-(x-2)^2+4$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 5

Skupiamy się na tym, jak dla czterech funkcji najpierw obliczyć odciętą osi symetrii, następnie podstawić ją do wzoru i otrzymać pełne współrzędne wierzchołka.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Najpierw wyznaczamy $x_w=-\frac{b}{2a}$ , a następnie obliczamy $y_w=f(x_w)$ .

a) $x_w=1$ , a $f(1)=2-4+3=1$ , więc $W(1,1)$ .

b) $x_w=-\frac{-3}{2(-1)}=-\frac32$ , a

$f\left(-\frac32\right)=-\frac94+\frac92+4=\frac{25}{4},$

zatem $W(-\frac32,\frac{25}{4})$ .

c) $x_w=-\frac{-1}{2\cdot\frac14}=2$ , a $f(2)=1-2+10=9$ , więc $W(2,9)$ .

d) $x_w=-\frac6{2\cdot3}=-1$ , a $f(-1)=3-6-10=-13$ , więc $W(-1,-13)$ .

Odpowiedź

a) $W(1,1)$ ; b) $W(-\frac32,\frac{25}{4})$ ; c) $W(2,9)$ ; d) $W(-1,-13)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem