NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 324

Uzupełniamy każdy trójmian do kwadratu. W postaci $y=(x-p)^2+q$ wierzchołkiem jest punkt $W(p,q)$.

a) $y=x^2-8x+6=(x-4)^2-16+6=(x-4)^2-10,$ więc $W(4,-10)$.

b) $y=x^2+4x+8=(x+2)^2-4+8=(x+2)^2+4,$ więc $W(-2,4)$.

c) $y=x^2-6x-2=(x-3)^2-9-2=(x-3)^2-11,$ więc $W(3,-11)$.

d)

=\left(x-\frac32\right)^2-\frac54,$$ więc $W(\frac32,-\frac54)$. **e)** $$y=x^2+x+\frac14=\left(x+\frac12\right)^2,$$ więc $W(-\frac12,0)$. **f)** $$y=x^2-x-2=\left(x-\frac12\right)^2-\frac14-2 =\left(x-\frac12\right)^2-\frac94,$$ więc $W(\frac12,-\frac94)$.

Dla trójmianu $ax^2+bx+c$ obliczamy $\Delta=b^2-4ac$.

a) $\Delta=3^2-4\cdot1\cdot1=5$.
b) $\Delta=4^2-4\cdot2\cdot1=8$.
c) $\Delta=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=0$.
d) $\Delta=6^2-4\cdot(-2)\cdot(-6)=-12$.
e) $\Delta=2^2-4\cdot(-\frac12)\cdot4=12$.
f) $\Delta=(-\sqrt2)^2-4\cdot2\cdot(-\frac14)=4$.

Korzystamy ze wzorów $x_w=-\frac{b}{2a}$ oraz $y_w=-\frac{\Delta}{4a}$.

a) $a=4$, $b=6$, $c=3$, zatem

\Delta=36-48=-12,\qquad y_w=-\frac{-12}{16}=\frac34.$$ **b)** $a=-2$, $b=4$, $c=1$, więc $$x_w=-\frac{4}{-4}=1,\qquad \Delta=16+8=24,\qquad y_w=-\frac{24}{-8}=3.$$ **c)** $a=\frac12$, $b=-1$, $c=1$, więc $$x_w=-\frac{-1}{1}=1,\qquad \Delta=1-2=-1,\qquad y_w=-\frac{-1}{2}=\frac12.$$