NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 322 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Trzeba tu do trzech wyrażeń kwadratowych kolejno podstawić dwa ujemne argumenty i poprawnie wykonać działania z potęgami oraz znakami.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy kolejno $x=-2$ i $x=-3$ .

a)

$(-2)^2-3(-2)-6=4,$ $(-3)^2-3(-3)-6=12.$

b)

$2(-2)^2+\frac32(-2)-\frac12=\frac92,$ $2(-3)^2+\frac32(-3)-\frac12=13.$

c)

$-3(-2)^2+2(-2)-1=-17,$ $-3(-3)^2+2(-3)-1=-34.$

Odpowiedź

Dla $x=-2$ i $x=-3$ kolejno: a) $4$ , $12$ ; b) $\frac92$ , $13$ ; c) $-17$ , $-34$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Liczymy tu wartości trzech trójmianów dla dwóch argumentów ułamkowych, zachowując kolejność potęgowania i rachunek na ułamkach.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy $x=-\frac12$ oraz $x=\frac14$ .

a)

$4\left(-\frac12\right)^2-2\left(-\frac12\right)+3=5,$ $4\left(\frac14\right)^2-2\left(\frac14\right)+3=\frac{11}{4}.$

b)

$-8\left(-\frac12\right)^2+4\left(-\frac12\right)-1=-5,$ $-8\left(\frac14\right)^2+4\left(\frac14\right)-1=-\frac12.$

c)

$-2\left(-\frac12\right)^2-6\left(-\frac12\right)+\frac12=3,$ $-2\left(\frac14\right)^2-6\left(\frac14\right)+\frac12=-\frac98.$

Odpowiedź

Dla $x=-\frac12$ i $x=\frac14$ kolejno: a) $5$ , $\frac{11}{4}$ ; b) $-5$ , $-\frac12$ ; c) $3$ , $-\frac98$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3

Celem jest to, by w dwóch zestawach obliczyć wartości trzech funkcji kwadratowych dla argumentu minus dwa i uporządkować otrzymane liczby rosnąco.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Dla $x=-2$ :

$f(-2)=-15,\qquad g(-2)=-17,\qquad h(-2)=-7.$

Zatem $g(-2)<f(-2)<h(-2)$ .

b) Dla $x=-2$ :

$f(-2)=-8,$ $g(-2)=-\frac14\cdot4+\frac34(-2)-8=-\frac{21}{2},$ $h(-2)=-\frac{17}{8}\cdot4-(-2)-4=-\frac{21}{2}.$

Stąd $g(-2)=h(-2)<f(-2)$ .

Odpowiedź

a) $g(-2)=-17<f(-2)=-15<h(-2)=-7$ ;
b) $g(-2)=h(-2)=-\frac{21}{2}<f(-2)=-8$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

Ćwiczymy tutaj, jak w trzech przypadkach podstawić wskazany argument i wartość funkcji do trójmianu z nieznanym wyrazem stałym, a następnie obliczyć ten współczynnik.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy wskazany argument do wzoru i rozwiązujemy równanie względem $c$ .

a)

$9=-\frac34\cdot4-\frac52(-2)+c=2+c,$

więc $c=7$ .

b)

$-2=-\frac34\cdot16-\frac52\cdot4+c=-22+c,$

więc $c=20$ .

c) Ponieważ $(-2\sqrt2)^2=8$ , mamy

$-6=-\frac34\cdot8-\frac52(-2\sqrt2)+c=-6+5\sqrt2+c,$

zatem $c=-5\sqrt2$ .

Odpowiedź

a) $c=7$ ; b) $c=20$ ; c) $c=-5\sqrt2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

W tym zadaniu należy podstawić współrzędne pięciu punktów z pierwiastkami do wzoru funkcji kwadratowej i wskazać te, których rzędne nie zgadzają się z obliczeniem.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Sprawdzamy, czy dla odciętej danego punktu wartość funkcji jest równa jego rzędnej.

$f(-1)=2+\sqrt2-2\sqrt2=2-\sqrt2\ne2-3\sqrt2,$

więc $A$ nie należy do wykresu.

$f(-\sqrt2)=4+2-2\sqrt2=6-2\sqrt2\ne10-2\sqrt2,$

więc $B$ nie należy do wykresu.

$f(-2)=8+2\sqrt2-2\sqrt2=8,$

więc $C$ należy do wykresu.

Dla $x=1+\sqrt2$ mamy $x^2=3+2\sqrt2$ , zatem

$f(1+\sqrt2)=2(3+2\sqrt2)-\sqrt2(1+\sqrt2)-2\sqrt2=4+\sqrt2,$

więc $D$ należy do wykresu.

$f(\sqrt2)=4-2-2\sqrt2=2-2\sqrt2\ne8-2\sqrt2,$

więc $E$ nie należy do wykresu.

Odpowiedź

Do wykresu nie należą punkty $A$ , $B$ i $E$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

Zadanie polega na tym, by dla dwóch trójmianów porównać wartości przy symetrycznych argumentach, wyprowadzić oś symetrii i obliczyć współrzędne wierzchołków.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a)

$f(-3)=\frac12\cdot9-3-1=\frac12,$ $f(1)=\frac12+1-1=\frac12.$

Wartości są równe, więc oś symetrii leży w połowie między $-3$ i $1$ :

$x=\frac{-3+1}{2}=-1.$

Wierzchołek ma rzędną $f(-1)=\frac12-1-1=-\frac32$ , czyli $W=(-1,-\frac32)$ .

b)

$f(-3)=-18+12+2=-4,$ $f(1)=-2-4+2=-4.$

Ponownie oś ma równanie $x=-1$ , a $f(-1)=-2+4+2=4$ , więc $W=(-1,4)$ .

Odpowiedź

W obu podpunktach $f(-3)=f(1)$ i oś symetrii ma równanie $x=-1$ . a) $W=(-1,-\frac32)$ ; b) $W=(-1,4)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

Warto tutaj dla czterech funkcji obliczyć wartości w kilku punktach, wykorzystać symetrię do znalezienia osi parabol i podać współrzędne ich wierzchołków.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Podstawiamy cztery argumenty. Oś symetrii funkcji $ax^2+bx+c$ ma równanie $x=-\frac{b}{2a}$ ; rzędną wierzchołka obliczamy przez podstawienie.

a) Wartości: $f(-2)=4$ , $f(-1)=0$ , $f(1)=-2$ , $f(2)=0$ . Oś: $x=\frac12$ ; $W=(\frac12,-\frac94)$ .

b) Wartości: $f(-2)=18$ , $f(-1)=6$ , $f(1)=-6$ , $f(2)=-6$ . Oś: $x=\frac32$ ; $W=(\frac32,-\frac{13}{2})$ .

c) Wartości: $f(-2)=-24$ , $f(-1)=-12$ , $f(1)=0$ , $f(2)=0$ . Oś: $x=\frac32$ ; $W=(\frac32,\frac12)$ .

d) Wartości: $f(-2)=-4$ , $f(-1)=8$ , $f(1)=-4$ , $f(2)=-28$ . Oś: $x=-\frac12$ ; $W=(-\frac12,\frac{19}{2})$ .

Odpowiedź

Wartości, osie symetrii i wierzchołki podano w rozwiązaniu: a) $x=\frac12$ , $W(\frac12,-\frac94)$ ; b) $x=\frac32$ , $W(\frac32,-\frac{13}{2})$ ; c) $x=\frac32$ , $W(\frac32,\frac12)$ ; d) $x=-\frac12$ , $W(-\frac12,\frac{19}{2})$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem