NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 321

Przesunięcie wykresu $y=x^2$ o wektor $[p,q]$ daje funkcję $g(x)=(x-p)^2+q$. Jej wierzchołek ma odciętą $p$; ponieważ ramiona są skierowane w górę, funkcja maleje do $p$ i rośnie od $p$.

a) $g(x)=(x-1)^2+2$; maleje w $(-\infty;1]$, rośnie w $[1;\infty)$.

b) $g(x)=(x-1)^2-2$; maleje w $(-\infty;1]$, rośnie w $[1;\infty)$.

c) $g(x)=(x+3)^2-2$; maleje w $(-\infty;-3]$, rośnie w $[-3;\infty)$.

d) $g(x)=(x+2)^2-4$; maleje w $(-\infty;-2]$, rośnie w $[-2;\infty)$.

Przesunięcie wykresu $y=-x^2$ o wektor $[p,q]$ daje wzór $g(x)=-(x-p)^2+q$. Wierzchołkiem jest $(p,q)$, a oś symetrii ma równanie $x=p$. Wszystkie ramiona są skierowane w dół.

a) $g(x)=-(x+2)^2+4$, $W=(-2,4)$, oś $x=-2$.

b) $g(x)=-(x+3)^2-1$, $W=(-3,-1)$, oś $x=-3$.

c) $g(x)=-(x-2)^2+2$, $W=(2,2)$, oś $x=2$.

d) $g(x)=-(x-3)^2-1$, $W=(3,-1)$, oś $x=3$.

Z postaci kanonicznej odczytujemy wierzchołek $(p,q)$. Dla dodatniego współczynnika przy kwadracie najmniejszą wartością jest $q$, a dla ujemnego — największą.

a) $W=(1,-4)$, ramiona w górę, więc $f(D)=[-4;\infty)$.

b) $W=(-2,1)$, ramiona w górę, więc $f(D)=[1;\infty)$.

c) $W=(-3,2)$, ramiona w dół, więc $f(D)=(-\infty;2]$.

d) $W=(4,4)$, ramiona w dół, więc $f(D)=(-\infty;4]$.

Dla przesunięcia o $[p,q]$ obowiązuje $g(x)=f(x-p)+q$.

Wiersz 1.

$g(x)=5(x+1)^2-3+5=5(x+1)^2+2.$

Wiersz 2. Porównanie $4(x+2)^2+3$ z $4x^2$ daje $\vec u=[-2,3]$.

Wiersz 3. Cofamy przesunięcie $[7,-3]$:

$f(x)=\frac52x^2-10,$

bo $f(x-7)-3=\frac52(x-7)^2-13$.

Wiersz 4.

$$g(x)=f(x-4)-6=2((x-4)-5)^2+3-6=2(x-9)^2-3.$$

Z postaci kanonicznej odczytujemy współrzędne wierzchołków. Następnie korzystamy ze wzoru $\overrightarrow{FG}=[x_G-x_F,\,y_G-y_F]$.

a) $F=(-1,-1)$, $G=(3,2)$, więc $\overrightarrow{FG}=[4,3]$.

b) $F=(-1,4)$, $G=(-3,2)$, więc $\overrightarrow{FG}=[-2,-2]$.

c) $F=(2,4)$, $G=(-1,-1)$, więc $\overrightarrow{FG}=[-3,-5]$.

d) $F=(-1,2)$, $G=(3,-1)$, więc $\overrightarrow{FG}=[4,-3]$.

W każdym podpunkcie obie parabole mają ten sam współczynnik przy kwadracie; drugi wykres jest więc przesunięciem pierwszego o obliczony wektor.

Wierzchołek funkcji $f(x)=ax^2+q$ to $(0,q)$. Z końca przedziału wartości odczytujemy $q$ i znak $a$. Ponieważ $P(-1,2)$ leży na wykresie,

$2=a(-1)^2+q=a+q,$

czyli $a=2-q$.

a) $q=1$, $a=1$, więc $f(x)=x^2+1$.

b) $q=0$, $a=2$, więc $f(x)=2x^2$.

c) $q=3$, $a=-1$, więc $f(x)=-x^2+3$.

d) $q=6$, $a=-4$, więc $f(x)=-4x^2+6$.

Punkty $A$ i $B$ mają tę samą rzędną, więc leżą symetrycznie względem osi paraboli $x=p$. Zatem $p$ jest średnią ich odciętych.

a)

$p=\frac{-4+0}{2}=-2.$

Otrzymujemy $y=(x+2)^2-1$. Sprawdzenie: $(-4+2)^2-1=3$ i $(0+2)^2-1=3$.

b)

$p=\frac{-1+5}{2}=2.$

Otrzymujemy $y=(x-2)^2-1$. Sprawdzenie: $(-1-2)^2-1=8$ i $(5-2)^2-1=8$.

Obie parabole mają ramiona w górę i wierzchołek odpowiednio $(-2,-1)$ oraz $(2,-1)$.