NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 319

Każdy wykres otrzymujemy z paraboli $y=ax^2$ przez przesunięcie pionowe.

a) $y=x^2-3$: przesunięcie o $3$ jednostki w dół. Wierzchołek $(0,-3)$, ramiona w górę, więc $f(x)\geqslant-3$.

b) $y=x^2+1$: przesunięcie o $1$ jednostkę w górę. Wierzchołek $(0,1)$, ramiona w górę, więc $f(x)\geqslant1$.

c) $y=-2x^2-4$: przesunięcie paraboli $y=-2x^2$ o $4$ jednostki w dół. Wierzchołek $(0,-4)$, ramiona w dół, więc $f(x)\leqslant-4$.

d) $y=-2x^2+2$: przesunięcie paraboli $y=-2x^2$ o $2$ jednostki w górę. Wierzchołek $(0,2)$, ramiona w dół, więc $f(x)\leqslant2$.

W postaci $a(x-p)^2$ wierzchołek paraboli ma współrzędne $(p,0)$. Dla $a>0$ funkcja maleje do wierzchołka, a potem rośnie; dla $a<0$ — odwrotnie.

a) $p=-3$, $a>0$: funkcja maleje w $(-\infty;-3]$ i rośnie w $[-3;\infty)$.

b) $p=1$, $a>0$: funkcja maleje w $(-\infty;1]$ i rośnie w $[1;\infty)$.

c) $p=-2$, $a<0$: funkcja rośnie w $(-\infty;-2]$ i maleje w $[-2;\infty)$.

d) $p=2$, $a<0$: funkcja rośnie w $(-\infty;2]$ i maleje w $[2;\infty)$.

Każdy wzór ma postać $(x-p)^2+q$, więc wierzchołek paraboli to $(p,q)$, oś symetrii ma równanie $x=p$, a ramiona są skierowane w górę.

a) Wierzchołek $(3,-2)$, oś $x=3$. Punkty kontrolne: $(2,-1)$, $(4,-1)$, $(1,2)$, $(5,2)$. Miejsca zerowe: $x=3\pm\sqrt2$.

b) Wierzchołek $(-2,1)$, oś $x=-2$. Punkty kontrolne: $(-3,2)$, $(-1,2)$, $(-4,5)$, $(0,5)$. Wykres nie przecina osi $OX$.

c) Wierzchołek $(2,-1)$, oś $x=2$. Punkty kontrolne: $(1,0)$, $(3,0)$, $(0,3)$, $(4,3)$.

Zaznaczenie tych punktów i połączenie ich gładką krzywą daje wymagane szkice.