NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 318

W każdym podpunkcie ograniczamy odpowiednią parabolę do podanej dziedziny. Zbiór wartości wyznaczamy z monotoniczności funkcji i z tego, czy końce przedziału należą do dziedziny.

a) Dla $f(x)=-\frac12x^2$ największą wartością jest $f(0)=0$. Gdy $x\to4^-$, mamy $f(x)\to-8$, ale $4\notin D$, więc $-8$ nie jest osiągane. Stąd $f(D)=(-8;0]$.

b) Dla $f(x)=\frac14x^2$ najmniejszą wartością jest $f(0)=0$. Największa wartość występuje dla $x=-4$ i wynosi $4$. Oba argumenty należą do dziedziny, więc $f(D)=[0;4]$.

c) Dla $f(x)=3x^2$ minimum wynosi $f(0)=0$. Gdy $x\to2^-$, $f(x)\to12$, lecz $2\notin D$, zatem $f(D)=[0;12)$.

d) Na $[1;2]$ funkcja $f(x)=-2x^2$ maleje. Wartości na końcach to $f(1)=-2$ i $f(2)=-8$, więc $f(D)=[-8;-2]$.

Wszystkie parabole mają wierzchołek $(0,0)$ i ramiona skierowane do góry. Na PNG strony 318 etykiety A–E są uporządkowane od paraboli najwęższej do najszerszej. Dla $y=ax^2$ większa dodatnia wartość $a$ oznacza węższą parabolę.

Z rysunku otrzymujemy kolejno współczynniki $1,\frac12,\frac14,\frac18,\frac1{16}$.

Dla $x=1$ funkcja $y=ax^2$ przyjmuje wartość $y=a$. Odległość punktu $(1,a)$ od osi $OX$ jest więc równa $|a|$. W każdym podpunkcie wybieramy najmniejszą wartość bezwzględną współczynnika.

a) $1<4<6$, więc wybieramy $y=x^2$.

b) $\sqrt2<\frac32<2$, więc wybieramy $y=\sqrt2x^2$.

c) $\frac13<3<2\sqrt3$, więc wybieramy $y=-\frac13x^2$.

d) $3<3{,}14<\pi$, więc wybieramy $y=-3x^2$.

Najpierw wyznaczamy $a$ z warunku, że punkt $P$ leży na paraboli. Następnie obliczamy $y_2=ax_2^2$. Odległość punktu $Q$ od osi $OX$ wynosi $|y_2|$.

a)

$-\frac32=9a,\qquad a=-\frac16.$

Zatem

$y_2=-\frac16\cdot(-2)^2=-\frac23,$

więc odległość wynosi $\frac23$.

b)

$20=a(-2\sqrt2)^2=8a,\qquad a=\frac52.$

Stąd

$y_2=\frac52\cdot2^2=10,$

więc odległość wynosi $10$.

Punkty przecięcia mają współrzędne $(t,4)$ i $(-t,4)$, zatem $|AB|=2t$. Ponieważ leżą na paraboli,

$4=at^2.$

Jeśli $L=|AB|$, to $t=\frac L2$, więc

$a=\frac4{t^2}=\frac4{(L/2)^2}=\frac{16}{L^2}.$

Podstawiamy kolejne długości:

a) $a=\frac{16}{2^2}=4$.

b) $a=\frac{16}{8^2}=\frac14$.

c) $a=\frac{16}{(1/2)^2}=64$.

d) $a=\frac{16}{(2\sqrt2)^2}=\frac{16}{8}=2$.

Odcinek $AB$ jest poziomy, ma długość $2|x|$, a jego odległość od punktu $O$ wynosi $3$. Zatem

$P_{AOB}=\frac12\cdot2|x|\cdot3=3|x|.$

Z warunku $3|x|=12$ otrzymujemy $|x|=4$. Punkty przecięcia prostej $y=3$ z parabolą to więc $A(4,3)$ i $B(-4,3)$. Podstawiamy jeden z nich:

$3=a\cdot4^2=16a,\qquad a=\frac3{16}.$

Szkicowana parabola ma równanie $y=\frac3{16}x^2$, wierzchołek $(0,0)$, oś symetrii $OY$ i przechodzi przez punkty $(\pm4,3)$.

a) Jeśli bok kwadratu ma długość $s$, to jego przekątna spełnia $x=s\sqrt2$. Stąd $s=\frac{x}{\sqrt2}$, a pole wynosi

$P(x)=s^2=\left(\frac{x}{\sqrt2}\right)^2=\frac12x^2.$

Długość przekątnej jest dodatnia, więc $x>0$. Wykres jest częścią paraboli $y=\frac12x^2$ położoną w pierwszej ćwiartce, bez punktu $(0,0)$.

b) Działka złożona z dwóch kwadratów o boku $s$ ma wymiary $2s\times s$. Jej przekątna spełnia

$x^2=(2s)^2+s^2=5s^2,$

więc $s^2=\frac{x^2}{5}$. Pole prostokąta jest równe

$P(x)=2s^2=\frac25x^2,$

również dla $x>0$.