Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 317

rozdział 7. Funkcja kwadratowa · temat „7.1. Wykres funkcji $f(x)=ax^2$” · 3 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 4

Warto tutaj dla paraboli skierowanej w dół wskazać przedział wzrostu i spadku, równanie osi symetrii oraz współrzędne wierzchołka.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Parabola $y=-x^2$ ma ramiona skierowane w dół i wierzchołek w punkcie $(0,0)$ . Gdy $x$ rośnie do zera, wartości $-x^2$ rosną; po przekroczeniu zera zaczynają maleć.

Oś symetrii przechodzi przez wierzchołek i jest osią $OY$ , czyli ma równanie $x=0$ .

Odpowiedź

a) Funkcja rośnie w $(-\infty;0]$ i maleje w $[0;\infty)$ .
b) Oś symetrii: $x=0$ ; wierzchołek: $(0,0)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 5

Sprawdzamy tutaj, jak z kierunku ramion i stopnia rozchylenia pięciu parabol odczytać ujemne współczynniki we wzorach funkcji powstałych przez odbicie względem osi poziomej.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Odbicie wykresu $y=ax^2$ względem osi $OX$ zmienia znak wartości funkcji, więc prowadzi do wzoru $y=-ax^2$ . Na skanie strony 317 etykiety od $f_1$ do $f_5$ biegną od paraboli najwęższej do najszerszej. Im większe $|a|$ , tym parabola jest węższa.

Kolejne wartości bezwzględne współczynników to zatem $4,2,1,\frac14,\frac18$ , a wszystkie współczynniki są ujemne.

Odpowiedź

f_1(x)=-4x^2,\quad f_2(x)=-2x^2,\quad f_3(x)=-x^2, \quad f_4(x)=-\frac14x^2,\quad f_5(x)=-\frac18x^2.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 6

Tym razem trzeba z jednego punktu każdej paraboli obliczyć jej współczynnik, sporządzić szkic i dobrać pięć należących do wykresu punktów o całkowitych współrzędnych.

4 podpunkty

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W każdym podpunkcie podstawiamy współrzędne punktu $P$ do równania $y=ax^2$ , wyznaczamy $a$ , a następnie wybieramy symetryczne argumenty.

$-4=a\cdot2^2,\qquad a=-1,$

więc $f(x)=-x^2$ . Przykładowe punkty: $(0,0)$ , $(1,-1)$ , $(-1,-1)$ , $(2,-4)$ , $(-2,-4)$ .

$-1=a\left(\frac12\right)^2,\qquad a=-4,$

więc $f(x)=-4x^2$ . Przykładowe punkty: $(0,0)$ , $(1,-4)$ , $(-1,-4)$ , $(2,-16)$ , $(-2,-16)$ .

$-6=a(-\sqrt2)^2=2a,\qquad a=-3,$

więc $f(x)=-3x^2$ . Przykładowe punkty: $(0,0)$ , $(1,-3)$ , $(-1,-3)$ , $(2,-12)$ , $(-2,-12)$ .

$-4=a(-2\sqrt2)^2=8a,\qquad a=-\frac12,$

więc $f(x)=-\frac12x^2$ . Aby obie współrzędne były całkowite, wybieramy parzyste argumenty. Przykładowe punkty: $(0,0)$ , $(2,-2)$ , $(-2,-2)$ , $(4,-8)$ , $(-4,-8)$ .

Każdy szkic jest parabolą o wierzchołku $(0,0)$ , osi symetrii $OY$ i ramionach skierowanych w dół.

Odpowiedź

a) $y=-x^2$ ; b) $y=-4x^2$ ; c) $y=-3x^2$ ; d) $y=-\frac12x^2$ . Pięć przykładowych punktów dla każdego wykresu podano w rozwiązaniu.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu