NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 312

Kąt wewnętrzny pięciokąta foremnego ma miarę $108^\circ$. Dwa skrajne trójkąty utworzone przez przekątne są równoramienne: mają kąt $108^\circ$ i dwa kąty po

$\frac{180^\circ-108^\circ}{2}=36^\circ.$

Ich kąty wynoszą więc $36^\circ$, $36^\circ$, $108^\circ$. Trójkąt środkowy ma kąty $72^\circ$, $36^\circ$, $72^\circ$. Żaden nie ma zestawu kątów wymienionego w pierwszym ani drugim stwierdzeniu.

Mamy $|PB|=|PA|+|AB|=10$. Z podobieństwa trójkątów $PAD$ i $PBE$:

$\frac{|PE|}{|PD|}=\frac{|PB|}{|PA|}=\frac{10}{4}=2{,}5.$

Jeśli $|PD|=x$, to $|PE|=x+4{,}8$, więc

$\frac{x+4{,}8}{x}=2{,}5,$

skąd $x=3{,}2$. To odpowiedź C w zadaniu 12.2.

Ponieważ $|PF|=3{,}2+4{,}8+2=10$ i $|PE|=8$, z podobieństwa trójkątów $PBE$ i $PCF$ otrzymujemy

$\frac{|PC|}{|PB|}=\frac{|PF|}{|PE|}=\frac{10}{8}=1{,}25.$

Stąd $|PC|=12{,}5$, a $|BC|=12{,}5-10=2{,}5$. To odpowiedź A.

Ponieważ $ABCD$ jest kwadratem, $AB\perp BC$, $BC\perp CD$ oraz $|BC|=|CD|$. Stąd

$\angle CBE=\angle DCF=90^\circ.$

Ponadto $CE\perp DF$ i $BC\perp CD$. Kąty utworzone przez pary prostych odpowiednio do siebie prostopadłych są równe, więc

$\angle BCE=\angle CDF.$

Trójkąty $BCE$ i $CDF$ mają zatem równy bok $BC=CD$ oraz równe dwa kąty przyległe do tego boku. Są przystające na mocy cechy KBK.

Przekątne rombu przecinają się pod kątem prostym i dzielą się na połowy, więc w trójkącie prostokątnym $APB$ przyprostokątne mają długości $6$ i $8$. Bok rombu ma długość

$|AB|=\sqrt{6^2+8^2}=10.$

Niech dwusieczna kąta $APB$ przecina $AB$ w punkcie $X$. Z twierdzenia o dwusiecznej

$\frac{|AX|}{|XB|}=\frac{|AP|}{|PB|}=\frac68=\frac34.$

Odcinek długości $10$ dzielimy więc w stosunku $3:4$:

|XB|=\frac47\cdot10=\frac{40}{7}.$$

Pole rombu $ABCD$ wynosi

$P_{ABCD}=\frac12\cdot12\cdot16=96\ \mathrm{cm}^2.$

Jego bok ma długość $\sqrt{6^2+8^2}=10$ cm, więc obwód jest równy $40$ cm. Skala podobieństwa rombu $EFGH$ do $ABCD$ spełnia

$k^2=\frac{150}{96}=\frac{25}{16},$

zatem $k=\frac54$. Obwód skaluje się liniowo:

$O_{EFGH}=\frac54\cdot40=50\ \mathrm{cm}.$