NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 311

Z równoległości $PQ\parallel BC$ wynika podobieństwo trójkątów $APQ$ i $ABC$. Skala mniejszego trójkąta wynosi

$k=\frac{|AQ|}{|AC|}=\frac25.$

Zatem

$|AP|=\frac25\cdot4{,}5=1{,}8\ \mathrm{cm},$

$|PQ|=\frac25\cdot3=1{,}2\ \mathrm{cm}.$

Obwód jest równy $1{,}8+2+1{,}2=5$ cm.

Pole $P_1$ wynosi $7\cdot24=168\ \mathrm{cm}^2$. Stosunek pól to

$\frac{P_2}{P_1}=\frac{42}{168}=\frac14,$

więc skala długości $P_2$ względem $P_1$ wynosi $\frac12$. Przekątna $P_1$ ma długość

$\sqrt{7^2+24^2}=25\ \mathrm{cm}.$

Przekątna $P_2$ ma zatem długość $\frac12\cdot25=12{,}5$ cm.

Niech $|AP|=x$, wtedy $|BP|=x+1$. Z twierdzenia o dwusiecznej

$\frac{|BP|}{|AP|}=\frac{|BC|}{|AC|}=\frac64=\frac32.$

Zatem

$\frac{x+1}{x}=\frac32,$

skąd $x=2$. Mamy $|AP|=2$, $|BP|=3$, a więc $|AB|=5$. Obwód trójkąta wynosi $4+6+5=15$ cm.

Jeśli $x$ jest długością trzeciego boku, nierówność trójkąta daje

$|8-4|<x<8+4,$

czyli $4<x<12$.

Wartość z odpowiedzi B spełnia $2\sqrt3<4$, więc jest za mała. Natomiast

$10+2\sqrt2>10+2=12,$

więc wartość z H jest za duża. Wszystkie pozostałe propozycje należą do przedziału $(4,12)$.

Skala podobieństwa $T_2$ do $T_1$ wynosi

$k=\frac{7{,}5}{4{,}5}=\frac53,$

więc stosunek pól jest równy $k^2=\frac{25}{9}$.

W pierwszym zdaniu

$P_2=27\cdot\frac{25}{9}=75\ \mathrm{cm}^2,$

zatem jest ono prawdziwe. W drugim

$P_1=25\cdot\frac9{25}=9\ \mathrm{cm}^2,$

więc ono także jest prawdziwe.