NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 310

Kąt wewnętrzny ośmiokąta foremnego ma miarę

$$\frac{(8-2)\cdot180^\circ}{8}=135^\circ.$$

Jest to kąt przy wierzchołku odciętego trójkąta równoramiennego. Jeśli każdy z jego kątów ostrych ma miarę (\alpha), to

$$2\alpha+135^\circ=180^\circ, \qquad \alpha=22{,}5^\circ.$$

Kąt wewnętrzny przy (K) jest przyległy do (116^\circ), więc ma miarę (64^\circ). W trójkącie (KRL):

$$y=180^\circ-64^\circ-50^\circ=66^\circ.$$

Ponieważ (RK\parallel SL), kąt między (RL) i (SL) ma miarę (50^\circ). Trójkąt (RSL) jest prostokątny przy (S), zatem

$$x=180^\circ-90^\circ-50^\circ=40^\circ.$$

Wobec tego

$$x+y=40^\circ+66^\circ=106^\circ.$$

Obwody są w stosunku (7:10). Oznaczmy je przez (7t) i (10t). Z równania

$$7t+10t=340$$

otrzymujemy (t=20). Różnica obwodów wynosi

$$10t-7t=3t=60\ \text{cm}.$$

Trójkąt (ABC) ma boki (5,12,13), pole

$$P_{ABC}=\frac12\cdot5\cdot12=30\ \text{cm}^2$$

i obwód (30) cm.

Trójkąty (AED) i (ABC) są podobne: oba są prostokątne i mają wspólny kąt przy (A). Stosunek ich pól wynosi

$$\frac{P_{AED}}{P_{ABC}}=\frac{4{,}8}{30}=0{,}16=0{,}4^2.$$

Skala liniowa małego trójkąta do dużego jest więc równa (0{,}4). Jego obwód wynosi

$$0{,}4\cdot30=12\ \text{cm}.$$

Przekątna prostokąta (P_1) ma długość

$$\sqrt{9^2+12^2}=15\ \text{cm}.$$

Skala (P_2) do (P_1) jest więc równa (\frac{20}{15}=\frac43). Stosunek pól wynosi

$$\left(\frac43\right)^2=\frac{16}{9},$$

czyli

$$P_1:P_2=9:16.$$

Dla kontroli boki (P_2) mają długości (12) i (16), więc jego obwód to (56) cm, a pole (192\ \text{cm}^2).