NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 308

W niebieskim trójkącie trzeci kąt ma miarę

$$y=180^\circ-\alpha-\beta =180^\circ-22^\circ-37^\circ =121^\circ.$$

Kąt (z) w czerwonym trójkącie jest wierzchołkowy do (y), więc (z=121^\circ). Z sumy kątów czerwonego trójkąta:

$$x=180^\circ-z-\gamma =180^\circ-121^\circ-46^\circ =13^\circ.$$

Niech bok każdego kwadratu ma długość (a). Szerokość trójkąta na wysokości (a) jest równa (2a), bo leżą tam górne boki dwóch dolnych kwadratów. Na wysokości (2a) szerokość jest równa (a), bo tam leży górny bok trzeciego kwadratu.

Boki trójkąta są prostymi, więc na każde przesunięcie pionowe o (a) jego szerokość zmienia się o (a). Zatem podstawa trójkąta ma długość (3a), a jego wysokość również (3a). Pole trawnika wynosi

$$P_T=\frac12\cdot3a\cdot3a=\frac92a^2.$$

Łączne pole trzech rabat jest równe (3a^2), więc zajmują część

$$\frac{3a^2}{\frac92a^2}=\frac23.$$

Rzeczywista odległość wynosi

$$4\cdot700\,000=2\,800\,000\ \text{cm}.$$

Na mapie w skali (1:800,000) odpowiada jej odcinek

$$\frac{2\,800\,000}{800\,000}=3{,}5\ \text{cm}.$$

Z układu planu wynika, że całkowita wysokość (4) cm jest sumą odcinków (x) i (2) cm, więc

$$x=4-2=2\ \text{cm}.$$

Skoro te (2) cm odpowiadają (6) m, to (1) cm odpowiada (3) m.

Brakujący poziomy odcinek ma długość (6-3{,}5=2{,}5) cm. Obwód planu:

$$6+x+2{,}5+2+3{,}5+4 =20\ \text{cm}.$$

W terenie jest to (20\cdot3=60) m. Po pozostawieniu wejścia o szerokości (2) m potrzeba

$$60-2=58\ \text{m}$$

płotu.

Bok kwadratu na planie ma długość (\sqrt{81}=9) cm. W skali (1:450) odpowiada to

$$9\cdot450=4050\ \text{cm}=40{,}5\ \text{m}.$$

Obwód działki wynosi (4\cdot40{,}5=162) m. Po odjęciu bramy potrzeba

$$162-4=158\ \text{m}$$

siatki.

a) Każdy pomalowany obszar jest trójkątem prostokątnym, bo dwa jego boki leżą na prostopadłych bokach jednego z kwadratów. Jeśli ostry kąt między bokami obu kwadratów oznaczymy przez (\alpha), to drugi ostry kąt każdego pomalowanego trójkąta ma miarę (90^\circ-\alpha). Wszystkie pomalowane trójkąty mają więc kąty

$$\alpha,\quad90^\circ-\alpha,\quad90^\circ$$

i są podobne z cechy KKK.

b) Pole części niebieskiej jest polem pierwszego kwadratu pomniejszonym o pole części wspólnej obu kartek. Pole części fioletowej jest polem drugiego kwadratu pomniejszonym o to samo pole części wspólnej. Kwadraty są jednakowe, więc

$$P_{\text{niebieskie}} =P_{\square}-P_{\text{wspólne}} =P_{\text{fioletowe}}.$$

Zużyto zatem tyle samo farby obu kolorów.

Niech długości podstaw trapezu będą równe (a>b>0). Po przedłużeniu ramion pola figur zawartych między równoległymi przekrojami są proporcjonalne do różnic kwadratów długości tych przekrojów.

Jeśli odcinek długości (c) dzieli trapez na równe pola, to

$$a^2-c^2=c^2-b^2,$$

czyli

$$c^2=\frac{a^2+b^2}{2}.$$

Odcinek długości (d), który dzieli trapez na dwa trapezy podobne, spełnia

$$d^2=ab.$$

Porównujemy:

$$c^2-d^2 =\frac{a^2+b^2}{2}-ab =\frac{(a-b)^2}{2}>0.$$

Zatem (c>d).