NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 300

Z zależności między polami otrzymujemy skale prostokątów względem (P_1):

$$k_{2:1}=\sqrt{1{,}44}=1{,}2, \qquad k_{3:1}=\sqrt{2{,}25}=1{,}5.$$

Zatem skala (P_3) do (P_2) wynosi

$$k_{3:2}=\frac{1{,}5}{1{,}2}=1{,}25.$$

Wymiary (P_3) są więc równe

$$24\cdot1{,}25=30\ \text{cm}, \qquad 36\cdot1{,}25=45\ \text{cm}.$$

Trójkąty (ADC) i (BCD) mają tę samą wysokość opuszczoną z (C) na prostą (AB), zatem

$$\frac{P_{ADC}}{P_{BCD}}=\frac{AD}{DB}=4.$$

Ponieważ (AD+DB=15), otrzymujemy (AD=12) i (DB=3). Z twierdzeń o rzucie przyprostokątnej:

$$AC^2=AB\cdot AD=15\cdot12, \qquad BC^2=AB\cdot DB=15\cdot3.$$

Stąd (AC=6\sqrt5), (BC=3\sqrt5), a obwód jest równy

$$15+6\sqrt5+3\sqrt5=15+9\sqrt5.$$

Trójkąty (ABP) i (CDP) są podobne. Ze stosunku ich pól wynika skala liniowa

$$k=\sqrt{\frac94}=\frac32.$$

Odpowiadające wysokości, czyli odległości punktu (P) od podstaw (AB) i (CD), również są w stosunku (3:2). Ich suma jest wysokością trapezu i wynosi (10), więc są równe

$$10\cdot\frac35=6 \quad\text{i}\quad 10\cdot\frac25=4.$$

Niech długość odcinka podziału będzie równa (x). Aby dwa otrzymane trapezy były podobne (po obrocie jednego z nich), odpowiadające podstawy muszą spełniać

$$\frac{x}{4}=\frac9x,$$

czyli (x=6). Skala większego trapezu do mniejszego wynosi (6:4=3:2), zatem ich wysokości są w stosunku (3:2). Ponieważ suma wysokości wynosi (5), wysokości są równe (3) cm i (2) cm. Pola:

$$P_{\text{większego}}=\frac{6+9}{2}\cdot3=22{,}5\ \text{cm}^2,$$ $$P_{\text{mniejszego}}=\frac{4+6}{2}\cdot2=10\ \text{cm}^2.$$

Długość wspólnej podstawy obu podobnych trapezów jest średnią geometryczną podstaw zewnętrznych:

$$x^2=32\cdot50, \qquad x=40.$$

Skala większego trapezu do mniejszego wynosi

$$\frac{50}{40}=\frac{40}{32}=\frac54,$$

więc stosunek ich pól jest równy (25:16). Suma (25+16=41) części odpowiada (1025\ \text{m}^2), czyli jedna część ma (25\ \text{m}^2). Otrzymujemy

$$25\cdot25=625\ \text{m}^2, \qquad 16\cdot25=400\ \text{m}^2.$$

Oznaczmy (AB=a), (CD=c), a odległości punktu (P) od prostych (AB) i (CD) odpowiednio przez (h_1,h_2). Trójkąty (ABP) i (CDP) są podobne, więc

$$\frac ac=\frac{h_1}{h_2}, \qquad\text{a zatem}\qquad ah_2=ch_1.$$

Mamy

$$S_1=\frac{ah_1}{2}, \qquad S_2=\frac{ch_2}{2}.$$

Pole każdego z dwóch pozostałych trójkątów, (ADP) i (BCP), jest równe

$$\frac{ah_2}{2}=\frac{ch_1}{2}=\sqrt{S_1S_2}.$$

Po zsumowaniu pól czterech trójkątów otrzymujemy

$$P=S_1+S_2+2\sqrt{S_1S_2} =(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2})^2.$$

Pomiar przekątnych pozwala sprawdzić, czy wytyczony czworokąt jest rzeczywiście prostokątem: przy poprawnych długościach boków obie przekątne powinny być równe projektowanej długości.

a) Skala (1:50) daje rzeczywiste wymiary

$$12\cdot50=600\ \text{cm}=6\ \text{m}, \qquad 18\cdot50=900\ \text{cm}=9\ \text{m}.$$

Przekątna powinna mieć długość

$$d=\sqrt{6^2+9^2}=3\sqrt{13}\approx10{,}82\ \text{m}.$$

b) Zewnętrzny prostokąt ma wymiary (6\text{ m}\times9\text{ m}). Po odjęciu pasa fundamentu o grubości (0{,}5) m z każdej strony wewnętrzny prostokąt ma wymiary (5\text{ m}\times8\text{ m}). Pole rzutu fundamentu wynosi

$$6\cdot9-5\cdot8=14\ \text{m}^2.$$

Przy głębokości (0{,}5) m objętość betonu jest równa

$$14\cdot0{,}5=7\ \text{m}^3.$$