NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 299

a) Odpowiadające boki mają długości (12) i (16), więc skala prostokąta (P_2) do (P_1) wynosi

$$k=\frac{12}{16}=\frac34.$$

Pole zmienia się w stosunku (k^2), zatem

$$P_2=144\left(\frac34\right)^2=81\ \text{cm}^2.$$

b) Tym razem

$$k=\frac{30}{18}=\frac53, \qquad P_2=144\left(\frac53\right)^2=400\ \text{cm}^2.$$

Obwód prostokąta (6\times12) jest równy (36) cm. Prostokąt o obwodzie (60) cm jest więc jego powiększeniem w skali

$$k=\frac{60}{36}=\frac53.$$

Jego boki mają długości (10) cm i (20) cm, zatem pole wynosi

$$10\cdot20=200\ \text{cm}^2.$$

a) Pole trójkąta (T_2) jest równe

$$45\left(\frac23\right)^2=20\ \text{cm}^2.$$

Jeśli jedna przyprostokątna ma długość (10), to druga ma długość (4), bo (\frac12\cdot10\cdot4=20). Przeciwprostokątna ma długość

$$\sqrt{10^2+4^2}=2\sqrt{29},$$

więc obwód wynosi (14+2\sqrt{29}) cm.

b) Pole rombu (R_1) jest równe (648:3^2=72\ \text{cm}^2). Zatem dla jego drugiej przekątnej (d)

$$\frac{6d}{2}=72, \qquad d=24.$$

Połówki przekątnych mają długości (3) i (12), więc bok rombu ma długość (3\sqrt{17}), a

$$Ob_1=12\sqrt{17}\ \text{cm}.$$

Obwód (R_2) jest trzykrotnie większy:

$$Ob_2=36\sqrt{17}\ \text{cm}.$$

Niech krótszy bok równoległoboku (R_1) ma długość (4), a dłuższy (6). Przekątna prostopadła do krótszego boku tworzy z tym bokiem trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej (6), więc jej długość wynosi

$$\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt5.$$

Jest ona zarazem wysokością opuszczoną na bok długości (4), stąd

$$P_1=4\cdot2\sqrt5=8\sqrt5\ \text{cm}^2.$$

Zatem kwadrat skali podobieństwa spełnia

$$k^2=\frac{200\sqrt5}{8\sqrt5}=25, \qquad k=5.$$

Ponieważ (Ob_1=2(4+6)=20) cm, otrzymujemy (Ob_2=5\cdot20=100) cm.

a) Jeżeli mniejsze pole oznaczymy przez (x), to większe wynosi (16x), bo (k^2=4^2=16). Z równania

$$x+16x=340$$

otrzymujemy (x=20). Pola wynoszą więc (20\ \text{dm}^2) i (320\ \text{dm}^2).

b) Pola trójkątów są w stosunku (1:9), zatem wynoszą (18\ \text{cm}^2) i (162\ \text{cm}^2). Dla trójkąta prostokątnego równoramiennego o przyprostokątnej (a) mamy (P=\frac{a^2}{2}). Przyprostokątne mają więc długości (6) cm i (18) cm. Obwody są równe

$$12+6\sqrt2 \quad\text{oraz}\quad 36+18\sqrt2.$$

Pole deltoidu (ABCD) jest równe połowie iloczynu jego przekątnych:

$$P=\frac{15\cdot10}{2}=75\ \text{cm}^2.$$

Wymiary latawca są czterokrotnie większe, więc jego pole jest (4^2=16) razy większe:

$$P_{\text{latawca}}=16\cdot75=1200\ \text{cm}^2.$$

Skala (F_1) do (F_2) wynosi (\frac34). Ze stosunku pól

$$\frac{P_{F_2}}{P_{F_3}}=\frac49$$

wynika, że skala (F_2) do (F_3) wynosi (\frac23), czyli skala (F_3) do (F_2) jest równa (\frac32). Ponadto skala (F_2) do (F_1) wynosi (\frac43). Zatem skala (F_3) do (F_1) to

$$\frac32\cdot\frac43=2.$$