NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 30

Mnożymy licznik i mianownik przez odpowiedni pierwiastek.

a) $\frac1{\sqrt2}=\frac{\sqrt2}{2}$.

b) $\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$.

c) $\frac{\sqrt2}{\sqrt5}=\frac{\sqrt{10}}5$.

d) $\frac4{3\sqrt2}=\frac{4\sqrt2}{6}=\frac{2\sqrt2}{3}$.

e) $\frac5{3\sqrt{10}}=\frac{5\sqrt{10}}{30}=\frac{\sqrt{10}}6$.

f) $\frac3{5\sqrt{15}}=\frac{3\sqrt{15}}{75}=\frac{\sqrt{15}}{25}$.

a) $\frac{8+\sqrt2}{\sqrt2}=\frac8{\sqrt2}+1=4\sqrt2+1\approx4\cdot1{,}4+1=6{,}6.$

b) $\frac{6-3\sqrt2}{2\sqrt2}=\frac{3\sqrt2}{2}-\frac32=\frac32(\sqrt2-1)\approx0{,}6.$

c) $\frac{5\sqrt2-10}{4\sqrt2}=\frac54-\frac{5\sqrt2}{4}=\frac54(1-\sqrt2)\approx-0{,}5.$

d) $\frac{5\sqrt2+3}{2\sqrt2}=\frac52+\frac{3\sqrt2}{4}=\frac{10+3\sqrt2}{4}\approx3{,}55.$

Łączymy czynniki pod jednym pierwiastkiem:

$\sqrt{12}\sqrt3=\sqrt{36}=6,\quad \sqrt{32}\sqrt8=\sqrt{256}=16,$

$\sqrt{10}\sqrt{40}=\sqrt{400}=20,\quad \sqrt{18}\sqrt{50}=\sqrt{900}=30,$

$\sqrt{28}\sqrt{63}=\sqrt{1764}=42,\quad \sqrt{45}\sqrt{20}=\sqrt{900}=30,$

$\sqrt{30}\sqrt{480}=\sqrt{14400}=120,\quad \sqrt{80}\sqrt{180}=\sqrt{14400}=120.$

Sprowadzamy każdy iloraz do jednego pierwiastka.

a) $\sqrt{\frac{54\cdot350}{21}}=\sqrt{900}=30$.

b) $\sqrt{\frac{98\cdot375}{80}}=\sqrt{\frac{3675}{8}}=\sqrt{\frac{35^2\cdot6}{4^2}}=\frac{35\sqrt6}{4}.$

c) $\sqrt{\frac{52\cdot363}{30\cdot130}}=\sqrt{\frac{121}{25}}=\frac{11}{5}=2{,}2.$

d) $\sqrt{\frac{48\cdot162}{72\cdot135}}=\sqrt{\frac45}=\frac2{\sqrt5}=\frac{2\sqrt5}{5}.$

Rozmnażamy przez nawias i upraszczamy pierwiastki.

a) $2\sqrt3(3\sqrt3+3\sqrt6-2\sqrt3)=6+18\sqrt2.$

b) $3\sqrt2(2\sqrt6-8\sqrt2+3\sqrt2)=12\sqrt3-30.$

c)

=\frac72\sqrt2-\frac23\sqrt3-\sqrt6.$$ **d)** $$\sqrt{50}+2\sqrt{20}-\frac{3\sqrt5-2\sqrt5}{\sqrt5} =5\sqrt2+4\sqrt5-1.$$

Korzystamy ze wzoru $P=\frac{(a+b)h}{2}$.

a)

=2\sqrt3\cdot\frac{5\sqrt3}{2}=15.$$ **b)** $$P=\frac{(2\sqrt3+4\sqrt2)\cdot2\sqrt6}{2} =6\sqrt2+8\sqrt3.$$ **c)** $$P=\frac{(\sqrt{50}+\sqrt{18})\sqrt8}{2} =\frac{(5\sqrt2+3\sqrt2)2\sqrt2}{2}=16.$$

Dla przyprostokątnych $x,y$ przeciwprostokątna ma długość $c=\sqrt{x^2+y^2}$, pole $P=\frac{xy}{2}$.

a) $c=5\sqrt2$, więc $Ob=(3+4+5)\sqrt2=12\sqrt2$, a $P=12$.

b) $x=6\sqrt3$, $y=8\sqrt3$, zatem $c=10\sqrt3$, $Ob=24\sqrt3$, $P=72$.

c) $c=\sqrt{40+50}=3\sqrt{10}$, więc $Ob=2\sqrt{10}+\sqrt{50}+3\sqrt{10}=5(\sqrt{10}+\sqrt2),$ $P=\frac{2\sqrt{10}\cdot\sqrt{50}}2=10\sqrt5.$

Rozpoczynamy od trójkąta prostokątnego o obu przyprostokątnych długości $1$; jego przeciwprostokątna ma długość $\sqrt2$. Na końcu tej przeciwprostokątnej konstruujemy prostopadły odcinek długości $1$ i łączymy jego drugi koniec z początkiem spirali. Nowa przeciwprostokątna ma długość

$\sqrt{(\sqrt2)^2+1^2}=\sqrt3.$

Powtarzamy krok: do odcinka $\sqrt k$ w jego zewnętrznym końcu konstruujemy prostopadły odcinek długości $1$, a nowy koniec łączymy ze środkiem. Z twierdzenia Pitagorasa nowy promień ma długość

$\sqrt{(\sqrt k)^2+1^2}=\sqrt{k+1}.$

a) Kontynuujemy konstrukcję do odcinka $\sqrt{16}=4$ i wykonujemy jeszcze jeden taki krok. Otrzymana przeciwprostokątna ma długość $\sqrt{17}$.

b) Analogicznie kontynuujemy spiralę do odcinka $\sqrt{37}$; kolejny trójkąt z jednostkową przyprostokątną daje odcinek $\sqrt{38}$.