NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 29

a) $11+7-15=3$.

b) $14-13-12=-11$.

c) $0{,}5+1{,}2+2{,}5=4{,}2$.

d) $1{,}9-1{,}1-0{,}3=0{,}5$.

e) $\frac9{20}+\frac3{10}-\frac85=\frac{9+6-32}{20}=-\frac{17}{20}$.

f)

=\frac95-\frac32+\frac43=\frac{49}{30}=1\frac{19}{30}.$$

a) Lewa strona to $\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac54$, a prawa $1+\frac34=\frac74$, więc wartości są różne.

b) Lewa strona wynosi $\sqrt{\frac94}=\frac32$, a prawa $\sqrt2+\frac12$. Równość wymagałaby $\sqrt2=1$, co jest fałszem.

c) Kwadrat lewej strony jest równy $4\frac19=\frac{37}{9}$, a kwadrat prawej strony $\left(2+\frac13\right)^2=\frac{49}{9}$. Dodatnie strony nie mogą więc być równe.

Przykłady pokazują, że na ogół $\sqrt{u+v}\ne\sqrt u+\sqrt v$.

Porównujemy liczby pod pierwiastkami z kolejnymi kwadratami.

a) $1^2<2<2^2$ i $5^2<33<6^2$, więc $\sqrt2\in(1,2)$, $\sqrt{33}\in(5,6)$. Między nimi leżą $2,3,4,5$.

b) $3^2<10<4^2$ i $11^2<140<12^2$, więc otrzymujemy liczby od $4$ do $11$.

c) $8^2<80<9^2$ i $17^2<300<18^2$, więc otrzymujemy liczby od $9$ do $17$.

Łączymy czynniki pod jednym pierwiastkiem albo pierwiastkujemy licznik i mianownik.

a) $\sqrt{4\cdot81}=18$, $\sqrt{25\cdot0{,}36}=3$, $\sqrt{0{,}09\cdot361}=5{,}7$.

b) $\sqrt{\frac{121}{144}}=\frac{11}{12}$, $\sqrt{\frac{361}{400}}=\frac{19}{20}$, $\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}$.

c) $\sqrt2\sqrt8=\sqrt{16}=4$, $\sqrt6\sqrt{1{,}5}=\sqrt9=3$, $\sqrt2\sqrt5\sqrt{10}=\sqrt{100}=10$.

d) $\frac{\sqrt{54}}{\sqrt6}=\sqrt9=3$, $\frac{\sqrt3}{\sqrt{12}}=\sqrt{\frac14}=\frac12$, $\frac{\sqrt{10}\sqrt{14}}{\sqrt{35}}=\sqrt4=2$.

Wyłączamy największy możliwy kwadrat:

$\sqrt{18}=3\sqrt2,\quad \sqrt{24}=2\sqrt6,\quad \sqrt{48}=4\sqrt3,\quad \sqrt{96}=4\sqrt6,$

$\sqrt{108}=6\sqrt3,\quad \sqrt{252}=6\sqrt7,\quad \sqrt{392}=14\sqrt2,\quad \sqrt{450}=15\sqrt2.$

Sprowadzamy wszystkie składniki do wielokrotności $\sqrt2$:

a) $4\sqrt2+\sqrt8=4\sqrt2+2\sqrt2=6\sqrt2$.

b) $\sqrt{32}-3\sqrt2=4\sqrt2-3\sqrt2=\sqrt2$.

c) $\sqrt{18}+\sqrt{98}=3\sqrt2+7\sqrt2=10\sqrt2$.

d) $\sqrt{200}-\sqrt{50}=10\sqrt2-5\sqrt2=5\sqrt2$.

e) $3\sqrt2+6\sqrt2+11\sqrt2=20\sqrt2$.

f) $20\sqrt2+11\sqrt2-9\sqrt2=22\sqrt2$.

Wyłączamy kwadraty i redukujemy wyrazy podobne.

a) $7\sqrt5+\sqrt{20}=7\sqrt5+2\sqrt5=9\sqrt5$.

b) $\sqrt{48}-\sqrt{27}=4\sqrt3-3\sqrt3=\sqrt3$.

c) $\sqrt{12}+\sqrt{75}=2\sqrt3+5\sqrt3=7\sqrt3$.

d) $\sqrt{45}-\sqrt{125}=3\sqrt5-5\sqrt5=-2\sqrt5$.

e) $0{,}2\cdot5\sqrt2+0{,}8\cdot6\sqrt2-0{,}3\cdot4\sqrt2=4{,}6\sqrt2$.

f) $3\cdot2\sqrt5-\frac13\cdot3\sqrt5-5\cdot6\sqrt5=-25\sqrt5$.