NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 298

Jeżeli pole pierwszego kwadratu stanowi (q) pola drugiego, to skala liniowa jest równa (\sqrt q).

a) Pole mniejszego kwadratu stanowi (81%) pola większego, więc

$$k=\sqrt{0{,}81}=0{,}9.$$

b) Pole większego kwadratu stanowi (225%) pola mniejszego, zatem

$$k=\sqrt{2{,}25}=1{,}5.$$

Pole trapezu (T_1) wynosi

$$P_1=\frac{5+7}{2}\cdot4=24\ \text{cm}^2.$$

Stąd

$$k^2=\frac{P_2}{P_1}=\frac6{24}=\frac14, \qquad k=\frac12.$$

Różnica podstaw (T_1) ma długość (2), więc jego bok ukośny ma długość

$$\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5.$$

Zatem

$$Ob_1=5+7+4+2\sqrt5=16+2\sqrt5,$$

a obwód figury podobnej w skali (\frac12) jest równy

$$Ob_2=\frac12Ob_1=8+\sqrt5.$$

a) Na planie działka (B) ma wymiary (4\ \text{cm}\times3\ \text{cm}), a w terenie (32\ \text{m}\times24\ \text{m}). Ponieważ (32\ \text{m}=3200\ \text{cm}),

$$\frac4{3200}=\frac1{800}.$$

b) Na planie podstawy trapezu (A) mają długości (6) cm i (4) cm, a wysokość (2{,}5) cm. Bok ukośny ma więc długość

$$\sqrt{(6-4)^2+2{,}5^2}=\frac{\sqrt{41}}2\ \text{cm}.$$

Jeden centymetr na planie odpowiada (8) m w terenie, zatem obwód działki wynosi

$$8\left(6+4+2{,}5+\frac{\sqrt{41}}2\right) =100+4\sqrt{41}\approx125{,}61\ \text{m}.$$

Po odjęciu szerokości furtki potrzeba około (124{,}11) m siatki, czyli mniej niż (125) m.

c) Bok kwadratu na planie ma (3) cm, więc w terenie ma (3\cdot8=24) m. Jego pole to

$$24^2=576\ \text{m}^2.$$

Pole trójkąta (ABC) wynosi

$$P_{ABC}=\frac{12^2\sqrt3}{4}=36\sqrt3.$$

Ponieważ (DE\parallel AB), trójkąty (DEC) i (ABC) są podobne. Jeśli

$$r=\frac{DC}{AC},$$

to (P_{DEC}=r^2P_{ABC}), a (DE=12r) oraz (AD=BE=12(1-r)). Obwód trapezu jest więc równy

$$Ob=12+12r+2\cdot12(1-r)=36-12r.$$

a) (r^2=\frac{9}{36}=\frac14), zatem (r=\frac12) i (Ob=30) cm.

b) (r^2=\frac4{36}=\frac19), zatem (r=\frac13) i (Ob=32) cm.

c) (r^2=\frac{16}{36}=\frac49), zatem (r=\frac23) i (Ob=28) cm.