NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 292

Uzupełniamy brakujące boki twierdzeniem Pitagorasa:

$$T_1:\ \sqrt{10^2-8^2}=6, \qquad T_2:\ \sqrt{3{,}5^2+12^2}=12{,}5,$$ $$T_3:\ \sqrt{15^2-12^2}=9, \qquad T_4:\ \sqrt{24^2+7^2}=25.$$

Zatem $T_1$ ma boki $6,8,10$, a $T_3$ — $9,12,15$, więc

$$T_1\sim T_3,\qquad k_1=\frac69=\frac23.$$

Trójkąty $T_2$ i $T_4$ mają boki odpowiednio $3{,}5,12,12{,}5$ oraz $7,24,25$, więc

$$T_2\sim T_4,\qquad k_2=\frac12.$$

a) Najdłuższe boki odpowiadają sobie, więc skala $A'B'C'$ do $ABC$ wynosi

$$k=\frac{16}{12}=\frac43.$$

Obwód $ABC$ jest równy $6+8+12=26$, zatem

$$Ob_{A'B'C'}=26\cdot\frac43=\frac{104}{3}=34\frac23.$$

b) Obwód trójkąta o bokach $4,8,10$ wynosi $22$. Skala do trójkąta o obwodzie $55$ jest równa

$$\frac{55}{22}=\frac52.$$

Jego boki mają więc długości $10$, $20$ i $25$.

Oznaczmy przyprostokątne trójkątów odpowiednio przez $a,b$ oraz $c,d$. Z założenia

$$\frac ab=\frac cd,$$

więc $ad=bc$, a zatem

$$\frac ac=\frac bd.$$

Dwie pary odpowiednich boków są proporcjonalne, a kąty między nimi mają po $90^\circ$. Trójkąty są więc podobne na mocy cechy BKB.

a) Przyprostokątne są proporcjonalne:

$$\frac9{12}=\frac{3\frac34}{5}=\frac34.$$

Kąty między nimi są proste, więc trójkąty są podobne na mocy cechy BKB. Skala $T_1$ do $T_2$ wynosi $3/4$.

b) Druga przyprostokątna $T_1$ ma długość

$$\sqrt{3^2-(\sqrt6)^2}=\sqrt3,$$

a druga przyprostokątna $T_2$:

$$\sqrt{(3\sqrt3)^2-3^2}=3\sqrt2.$$

Mamy

$$\frac{\sqrt3}{3}=\frac{\sqrt6}{3\sqrt2}=\frac3{3\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}.$$

Trójkąty są podobne, a skala $T_1$ do $T_2$ wynosi $\sqrt3/3$.