NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 293

a) W trójkącie prostokątnym $ABE$:

$$|BE|=\sqrt{10^2-8^2}=6.$$

Trójkąty $ABE$ i $ACD$ są podobne, a ich skala wynosi $7{,}5/6=5/4$. Stąd

$$|AC|=8\cdot\frac54=10,\qquad |AD|=10\cdot\frac54=12{,}5.$$

Zatem $x=10-8=2$ i $y=12{,}5-10=2{,}5$.

b) W trójkącie prostokątnym $AEB$:

$$|AB|=\sqrt{12^2+9^2}=15,\qquad |AC|=15+5=20.$$

Trójkąty $AEB$ i $ACD$ są podobne w skali $20/12=5/3$. Dlatego

$$x=9\cdot\frac53=15,\qquad |AD|=15\cdot\frac53=25,$$

więc $y=25-12=13$.

Ponieważ $ED\parallel BC$, trójkąty $AED$ i $ABC$ są podobne.

a) Skala większego trójkąta do mniejszego wynosi

$$\frac{|AB|}{|AE|}=\frac{12+6}{12}=\frac32.$$

Stąd $|AC|=15\cdot3/2=22{,}5$ oraz $|BC|=8\cdot3/2=12$. Obwód:

$$18+22{,}5+12=52{,}5.$$

b) Skala wynosi $|AB|/|AE|=5/4$. Ponieważ $|AC|/|AD|=5/4$ i $|AC|=|AD|+1{,}5$, otrzymujemy $|AD|=6$ oraz $|AC|=7{,}5$. Ponadto $|BC|=5\cdot5/4=6{,}25$. Zatem

$$Ob_{ABC}=5+7{,}5+6{,}25=18{,}75.$$

a) Przeciwprostokątna pierwszego trójkąta wynosi

$$\sqrt{12^2+16^2}=20,$$

a jego obwód $48$. Trójkąt o obwodzie $6$ jest osiem razy mniejszy, więc jego przeciwprostokątna ma długość $20/8=2{,}5$.

b) Trójkąt o przyprostokątnych $12$ i $3{,}5$ ma przeciwprostokątną

$$\sqrt{12^2+3{,}5^2}=12{,}5$$

i obwód $28$. Trójkąt o przeciwprostokątnej $100$ jest osiem razy większy, więc jego obwód wynosi $224$.

Z oznaczenia kąta prostego przy $C$ trójkąt $DEC$ jest prostokątny. Zatem

$$|CE|=\sqrt{10^2-(2\sqrt5)^2}=4\sqrt5.$$

Ponieważ $|EB|=2\sqrt5$, mamy $|BC|=6\sqrt5$. W prostokątnym trójkącie $ABC$:

$$|AC|=\sqrt{15^2-(6\sqrt5)^2}=3\sqrt5.$$

Odpowiednie boki spełniają

$$\frac{|AB|}{|DE|}=\frac{15}{10}=\frac32, \quad \frac{|AC|}{|DC|}=\frac{3\sqrt5}{2\sqrt5}=\frac32, \quad \frac{|BC|}{|EC|}=\frac{6\sqrt5}{4\sqrt5}=\frac32.$$

Trójkąty są podobne na mocy cechy BBB, w skali $3/2$. Ich obwody wynoszą

$$Ob_{DEC}=10+6\sqrt5,\qquad Ob_{ABC}=15+9\sqrt5.$$

a) Wszystkie trzy trójkąty są prostokątne. Ponadto każdy z małych trójkątów ma z trójkątem $ABC$ jeszcze jeden wspólny kąt ostry. Z cechy KKK:

$$\triangle ABC\sim\triangle CBD, \qquad \triangle ABC\sim\triangle ACD, \qquad \triangle CBD\sim\triangle ACD.$$

b) Przeciwprostokątna ma długość $5$. Z podobieństwa wynikają zależności projekcyjne

$$|BD|=\frac{|BC|^2}{|AB|}=\frac{3^2}{5}=1{,}8, \qquad |AD|=\frac{|AC|^2}{|AB|}=\frac{4^2}{5}=3{,}2.$$

Niech $h$ będzie wysokością na przeciwprostokątną. Z podobieństwa trójkątów powstałych po jej opuszczeniu:

$$h^2=2\cdot8=16,$$

więc $h=4\ \mathrm{cm}$. Przeciwprostokątna ma długość $2+8=10\ \mathrm{cm}$, zatem pole jest równe

$$P=\frac12\cdot10\cdot4=20\ \mathrm{cm}^2.$$