NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 290

a) Połówki przekątnych mniejszego rombu mają długości $6$ i $8$, więc jego bok jest równy

$$a=\sqrt{6^2+8^2}=10.$$

Obwód mniejszego rombu wynosi $40$. W skali $5/2$ bok większego rombu ma długość $25$, a jego obwód jest równy $100$.

b) Bok rombu $ABCD$ ma długość

$$a=\sqrt{5^2+12^2}=13,$$

zatem jego obwód wynosi $52$. Skala większego rombu o obwodzie $78$ do mniejszego wynosi

$$k=\frac{78}{52}=\frac32.$$

Różnica podstaw trapezu $ABCD$ wynosi $5-2=3$. Ramię $BC$ jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych $3$ i $4$, więc

$$|BC|=5.$$

Obwód trapezu $ABCD$ wynosi zatem

$$5+5+2+4=16.$$

Trapez $A'B'C'D'$ ma obwód $24$, więc skala wynosi $24/16=3/2$. Jego boki mają długości

$$5\cdot\frac32=7{,}5,\quad 5\cdot\frac32=7{,}5,\quad 2\cdot\frac32=3,\quad 4\cdot\frac32=6.$$

Pole trójkąta $ABC$ można obliczyć z przyprostokątnych albo z przeciwprostokątnej i wysokości $h$:

$$\frac12\cdot9\cdot12=\frac12\cdot15\cdot h.$$

Stąd $h=7{,}2\ \mathrm{cm}$. Wysokość drugiego trójkąta wynosi

$$h'=\frac{25}{24}\cdot7{,}2=7{,}5\ \mathrm{cm}.$$

Obwód pierwszego trójkąta to $36\ \mathrm{cm}$, a drugiego

$$36\cdot\frac{25}{24}=37{,}5\ \mathrm{cm}.$$

Suma obwodów wynosi $73{,}5\ \mathrm{cm}$.

Bok kwadratu o przekątnej $d$ ma długość $d/\sqrt2$, więc jego obwód wynosi

$$4\cdot\frac d{\sqrt2}=2\sqrt2\,d.$$

Suma obwodów obu kwadratów jest zatem równa

$$2\sqrt2\,d_1+2\sqrt2\,d_2 =2\sqrt2(d_1+d_2) =4\sqrt2.$$

Niech $O$ będzie punktem przecięcia przekątnych prostokąta. Połówki przekątnych są równe. Ponieważ kąt między przekątnymi ma $60^\circ$, trójkąt utworzony przez $O$ i końce boku $BC$ jest równoboczny. Zatem połowa przekątnej ma długość $|BC|=8$, czyli przekątna ma $16$.

Drugi bok prostokąta jest równy

$$\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt3,$$

więc obwód $ABCD$ wynosi $16+16\sqrt3$. Stąd skala prostokąta $A'B'C'D'$ do $ABCD$ jest równa

$$k=\frac{20+20\sqrt3}{16+16\sqrt3}=\frac54=1{,}25.$$

Ponieważ $x>4$, w pierwszym prostokącie dłuższym bokiem jest $x$. W drugim dłuższym bokiem jest $x+5$. Z podobieństwa

$$\frac{x}{4}=\frac{x+5}{6}.$$

Stąd $6x=4x+20$, czyli $x=10$.

Obwody prostokątów wynoszą odpowiednio

$$2(10+4)=28, \qquad 2(6+15)=42.$$

Ich suma to $28+42=70$.

Oznaczmy

$$\varphi=\frac{1+\sqrt5}{2}.$$

Po odcięciu kwadratu o boku $1$ pozostały prostokąt ma boki $1$ oraz $\varphi-1$. Ponieważ

$$\varphi^2=\varphi+1,$$

to $\varphi(\varphi-1)=1$, czyli

$$\frac1{\varphi-1}=\varphi.$$

Stosunek dłuższego boku do krótszego jest więc w obu prostokątach równy $\varphi$. Prostokąty są podobne.

Niech krótszy bok A4 ma długość $a$, a dłuższy $b$. Po złożeniu arkusz A5 ma boki $a$ i $b/2$. Z podobieństwa, po obróceniu mniejszego prostokąta,

$$\frac ba=\frac{a}{b/2}.$$

Stąd $b^2=2a^2$, czyli $b:a=\sqrt2:1$.

b) Dla $a=21\ \mathrm{cm}$:

$$b=21\sqrt2\ \mathrm{cm}\approx29{,}7\ \mathrm{cm}=297\ \mathrm{mm}.$$

c) A5 ma wymiary

$$21\ \mathrm{cm}\times\frac{21\sqrt2}{2}\ \mathrm{cm} \approx21\ \mathrm{cm}\times14{,}8\ \mathrm{cm}.$$

Po kolejnym złożeniu A6 ma wymiary około

$$10{,}5\ \mathrm{cm}\times14{,}8\ \mathrm{cm}.$$