NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 289

a) Kwadrat $K_2$ ma bok $8\ \mathrm{cm}$, ponieważ jego przekątna wynosi $8\sqrt2\ \mathrm{cm}$. Skala $K_1$ do $K_2$ jest więc równa

$$5:8.$$

b) Z obwodu $40\ \mathrm{cm}$ wynika, że bok $K_2$ ma $10\ \mathrm{cm}$. Zatem skala $K_1$ do $K_2$ to

$$5:10=1:2.$$

Niech $x$ będzie długością wspólnego odcinka podziału. Podstawy mniejszego trapezu mają długości $4$ i $x$, a większego $x$ i $9$. Z podobieństwa

$$\frac4x=\frac{x}{9},$$

więc $x^2=36$ i $x=6$. Skala mniejszego trapezu do większego wynosi zatem

$$4:6=6:9=2:3.$$

Obwód prostokąta $P$ wynosi

$$2(12+8)=40\ \mathrm{cm}.$$

a) Obwody figur podobnych zmieniają się w tej samej skali co boki, więc

$$Ob_{P'}=3\cdot40=120\ \mathrm{cm}.$$

b) Skala $P$ do $P'$ jest równa $2$, zatem $P'$ ma obwód dwa razy mniejszy:

$$Ob_{P'}=40:2=20\ \mathrm{cm}.$$

a) Skala czworokąta $ABCD$ do $A'B'C'D'$ wynosi

$$k=\frac{|AB|}{|A'B'|}=\frac{10}{12}=\frac56.$$

Z proporcjonalności boków:

$$|CD|=\frac56\cdot5{,}4=4{,}5,$$ $$|A'D'|=6{,}5\cdot\frac65=7{,}8, \qquad |B'C'|=6\cdot\frac65=7{,}2.$$

b) Tutaj

$$k=\frac{|BC|}{|B'C'|}=\frac{7{,}5}{3}=2{,}5.$$

Zatem

$$|CD|=2{,}5\cdot2=5,$$ $$|A'B'|=\frac{12{,}5}{2{,}5}=5, \qquad |A'D'|=\frac6{2{,}5}=2{,}4.$$

Niech wymiary pierwszego prostokąta będą równe $a,b$, a drugiego $c,d$, przy czym

$$\frac ab=\frac cd.$$

Po przekształceniu otrzymujemy $ad=bc$, czyli

$$\frac ac=\frac bd=k.$$

Odpowiednie boki obu prostokątów są więc proporcjonalne w tej samej skali $k$. Wszystkie kąty obu figur są proste, zatem prostokąty są podobne.

Krótsza przekątna wraz z bokiem $6$ tworzy trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej $12$. Jej długość wynosi więc

$$d=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt3\ \mathrm{cm}.$$

W drugim równoległoboku przekątna ma długość $9\sqrt3$, zatem skala drugiej figury do pierwszej to

$$k=\frac{9\sqrt3}{6\sqrt3}=\frac32.$$

a) Obwód pierwszego równoległoboku wynosi $2(6+12)=36\ \mathrm{cm}$, więc obwód drugiego jest równy

$$36\cdot\frac32=54\ \mathrm{cm}.$$

b) Kąt między bokami równoległoboku ma $60^\circ$, więc jego pole wynosi

$$P=6\cdot12\cdot\sin60^\circ=36\sqrt3\ \mathrm{cm}^2.$$

Wysokości pierwszej figury to

$$\frac{36\sqrt3}{12}=3\sqrt3\ \mathrm{cm}, \qquad \frac{36\sqrt3}{6}=6\sqrt3\ \mathrm{cm}.$$

Wysokości drugiej figury są $3/2$ razy większe, czyli $\frac92\sqrt3\ \mathrm{cm}$ i $9\sqrt3\ \mathrm{cm}$.