NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 285

a) Dla odcinków wyznaczonych przez równoległe $k,l,m$:

$$\frac{x}{4{,}5}=\frac{4{,}8}{3{,}6}=\frac43, \qquad \frac{3{,}2}{y}=\frac{4{,}8}{3{,}6}=\frac43.$$

Stąd $x=6$ i $y=2{,}4$.

b) Tym razem

$$\frac{15}{24}=\frac{x}{16}=\frac{7{,}5}{y}.$$

Zatem

$$x=16\cdot\frac{15}{24}=10, \qquad y=7{,}5\cdot\frac{24}{15}=12.$$

Na ramieniu $AD$ punkty leżą w kolejności $A,P,Q,D$, ponieważ

$$|AP|=9-5=4,\qquad |PQ|=7-4=3,\qquad |QD|=9-7=2.$$

Równoległe do podstaw dzielą oba ramiona trapezu w tych samych proporcjach. Współczynnik przejścia z ramienia $AD$ na $BC$ wynosi $12/9=4/3$. Otrzymane części ramienia $BC$ mają więc długości

$$4\cdot\frac43=\frac{16}{3},\qquad 3\cdot\frac43=4,\qquad 2\cdot\frac43=\frac83.$$

Z punktu $O$ prowadzimy dwie półproste. Na pierwszej odkładamy $OP=1$ oraz $OQ=a$. Na drugiej odkładamy $OR=a$. Łączymy $P$ z $R$, a przez $Q$ prowadzimy prostą równoległą do $PR$, przecinającą drugą półprostą w $S$. Z twierdzenia Talesa

$$\frac{|OS|}{|OR|}=\frac{|OQ|}{|OP|}=a,$$

więc $|OS|=a^2$.

Aby otrzymać $a^3$, powtarzamy tę konstrukcję, odkładając na drugiej półprostej skonstruowany odcinek $OR=a^2$. Wtedy analogicznie $|OS|=a\cdot a^2=a^3$.

Najpierw konstruujemy odcinek długości $\sqrt2$, na przykład jako przekątną kwadratu o boku $1$.

Niech $AB$ będzie dzielonym odcinkiem. Z punktu $A$ prowadzimy półprostą i odkładamy na niej kolejno $AP=1$ oraz $PQ=\sqrt2$. Łączymy $Q$ z $B$. Przez $P$ prowadzimy prostą równoległą do $QB$; niech przecina $AB$ w punkcie $C$. Z twierdzenia Talesa

$$\frac{|AC|}{|CB|}=\frac{|AP|}{|PQ|}=\frac1{\sqrt2}.$$

a) Dla prostych $k$ i $m$ odległości od wierzchołka kąta spełniają

$$\frac6{6+5+4}=\frac9{9+7+6{,}5}=\frac25.$$

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa $k\parallel m$. Analogiczne ilorazy dla par $k,l$ oraz $l,m$ nie są równe, więc te pary nie są równoległe.

b) Niech $O$ będzie punktem przecięcia niebieskich prostych. Dla $l$ i $m$:

$$\frac{12}{15{,}6}=\frac8{10{,}4}=\frac{10}{13},$$

zatem $l\parallel m$. Dla prostej $k$ odległości od $O$ wynoszą odpowiednio $21$ oraz $27{,}4$, a $21/27{,}4\ne10/13$, więc $k$ nie jest równoległa do $l$ ani do $m$.

Niech $D$ i $E$ będą środkami odpowiednio boków $AC$ i $BC$. Wtedy

$$\frac{|CD|}{|CA|}=\frac12 \qquad\text{oraz}\qquad \frac{|CE|}{|CB|}=\frac12.$$

Z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia Talesa wynika, że prosta $DE$ jest równoległa do $AB$. Zatem odcinek łączący środki dwóch boków trójkąta jest równoległy do trzeciego boku.