NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 277 — rozwiązania zadań

Zadanie 3

Należy tutaj w dwóch układach prostych i trójkątów z rysunku wyznaczyć kąty alfa, beta i gamma, wykorzystując równoległość oraz ramiona równej długości.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Ponieważ $AB\parallel CD$ , kąty naprzemianległe dają $\alpha=30^\circ$ i $\gamma=50^\circ$ . Kąt przy przecięciu przekątnych w górnym trójkącie ma $100^\circ$ , więc przyległy do niego kąt $\beta$ ma $80^\circ$ .

b) Kąt $\alpha$ jest wierzchołkowy do zaznaczonego $52^\circ$ , zatem $\alpha=52^\circ$ . Z $|AC|=|BC|$ wynika równość kątów przy podstawie, więc $\beta=52^\circ$ . Stąd [ \gamma=180^\circ-52^\circ-52^\circ=76^\circ. ]

Odpowiedź

a) $\alpha=30^\circ,\ \beta=80^\circ,\ \gamma=50^\circ$ . b) $\alpha=52^\circ,\ \beta=52^\circ,\ \gamma=76^\circ$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 4

To ćwiczenie sprawdza, czy potrafisz systematycznie uzupełnić miary wszystkich kątów w siatce podzielonej na trójkąty, korzystając z kątów przyległych i sum kątów figur.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy kolejno z sumy $180^\circ$ w małych trójkątach. [ \angle AEF=180^\circ-23^\circ-90^\circ=67^\circ, ] [ \angle AFB=180^\circ-22^\circ-93^\circ=65^\circ, ] [ \angle BCF=180^\circ-64^\circ-97^\circ=19^\circ, ] [ \angle EFD=180^\circ-73^\circ-24^\circ=83^\circ. ] Suma kątów wokół punktu $F$ wynosi $360^\circ$ , więc [ \angle DFC=360^\circ-(90^\circ+83^\circ+97^\circ+65^\circ)=25^\circ. ] Na koniec w trójkącie $DFC$ : [ \angle CDF=180^\circ-25^\circ-71^\circ=84^\circ. ]

Odpowiedź

$\angle AEF=67^\circ$ , $\angle AFB=65^\circ$ , $\angle BCF=19^\circ$ , $\angle EFD=83^\circ$ , $\angle DFC=25^\circ$ , $\angle CDF=84^\circ$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Porównujemy kąty powstałe po podziale trójkąta równoramiennego o kącie wierzchołkowym 40 stopni dwusieczną kąta wierzchołkowego lub kąta przy podstawie.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Kąty przy podstawie trójkąta $ABC$ mają po [ \frac{180^\circ-40^\circ}{2}=70^\circ. ] a) Dwusieczna kąta $C$ dzieli $40^\circ$ na dwa kąty po $20^\circ$ . Powstają dwa trójkąty o kątach $20^\circ,70^\circ,90^\circ$ .

b) Dwusieczna kąta $A$ daje dwa kąty po $35^\circ$ . W trójkącie przy wierzchołku $B$ trzeci kąt ma $75^\circ$ , a w trójkącie przy $C$ ma $105^\circ$ .

Odpowiedź

a) Oba trójkąty: $20^\circ,70^\circ,90^\circ$ . b) Jeden: $35^\circ,70^\circ,75^\circ$ ; drugi: $35^\circ,40^\circ,105^\circ$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 6

Liczymy tu miary dwóch kątów przyległych, wiedząc, że jeden z nich jest o 32 stopnie większy od drugiego.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech mniejszy kąt ma miarę $x$ , a większy $x+32^\circ$ . Kąty przyległe sumują się do $180^\circ$ : [ x+(x+32^\circ)=180^\circ, ] stąd $x=74^\circ$ .

Odpowiedź

Kąty mają miary $74^\circ$ i $106^\circ$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 7

W ramach ćwiczenia trzeba udowodnić, że dwusieczne dowolnych dwóch kątów przyległych przecinają się pod kątem prostym.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech kąty przyległe mają miary $\alpha$ i $\beta$ . Wtedy $\alpha+\beta=180^\circ$ . Kąt między ich dwusiecznymi ma miarę [ \frac{\alpha}{2}+\frac{\beta}{2} =\frac{\alpha+\beta}{2} =90^\circ. ] Zatem dwusieczne są prostopadłe.

Odpowiedź

Dwusieczne kątów przyległych tworzą kąt $90^\circ$ , więc są prostopadłe.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 8

Udowadniamy twierdzenie o kącie zewnętrznym trójkąta przez zapisanie sumy kątów wewnętrznych i pary przyległej.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Oznaczmy trzeci kąt wewnętrzny przez $\delta$ . Z sumy kątów trójkąta [ \alpha+\beta+\delta=180^\circ. ] Kąty $\delta$ i $\gamma$ są przyległe, więc [ \delta+\gamma=180^\circ. ] Porównanie obu równości daje $\gamma=\alpha+\beta$ .

Odpowiedź

Miara kąta zewnętrznego jest równa $\gamma=\alpha+\beta$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 9

Uczymy się tutaj, jak podzielić czworokąt przekątną na dwa trójkąty i na tej podstawie wykazać, że suma jego kątów wewnętrznych wynosi 360 stopni.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Prowadzimy jedną przekątną czworokąta. Dzieli ona czworokąt na dwa trójkąty, a suma kątów każdego z nich wynosi $180^\circ$ . Kąty obu trójkątów razem składają się dokładnie na cztery kąty wewnętrzne czworokąta, zatem ich suma to [ 180^\circ+180^\circ=360^\circ. ]

Odpowiedź

Suma miar kątów wewnętrznych czworokąta wynosi $360^\circ$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 10

Sedno zadania polega na tym, by wyprowadzić sumy kątów wewnętrznych pięciokąta i sześciokąta, a następnie uogólnić rozumowanie na dowolny n-kąt.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przekątne poprowadzone z jednego wierzchołka dzielą $n$ -kąt na $n-2$ trójkąty. Zatem suma kątów wynosi $(n-2)\cdot180^\circ$ .

a) Dla $n=5$ : $3\cdot180^\circ=540^\circ$ .

b) Dla $n=6$ : $4\cdot180^\circ=720^\circ$ .

Odpowiedź

a) $540^\circ$ . b) $720^\circ$ . c) $(n-2)\cdot180^\circ$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 11

Spróbujmy tutaj z podanej sumy 1440 stopni wyznaczyć liczbę boków wielokąta przy użyciu ogólnego wzoru na sumę kątów wewnętrznych.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy ze wzoru na sumę kątów $n$ -kąta: [ (n-2)\cdot180^\circ=1440^\circ. ] Po podzieleniu przez $180^\circ$ mamy $n-2=8$ , więc $n=10$ .

Odpowiedź

Wielokąt ma $10$ boków.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 12

Wykorzystujemy symetrię i własności trójkątów równobocznych do obliczenia kątów czterech trójkątów utworzonych przez przekątne sześciokąta foremnego.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Oznaczmy kolejne wierzchołki sześciokąta przez $A,B,C,D,E,F$ i poprowadźmy $AC,AD,AE$ .

Trójkąty $ABC$ i $AEF$ są równoramienne; kąt sześciokąta przy $B$ lub $F$ ma $120^\circ$ , więc pozostałe kąty mają po $30^\circ$ .

Trójkąty $ACD$ i $ADE$ mają boki w stosunku $1:\sqrt3:2$ , są więc trójkątami $30^\circ$ – $60^\circ$ – $90^\circ$ .

Odpowiedź

Dwa skrajne trójkąty mają kąty $30^\circ,30^\circ,120^\circ$ , a dwa środkowe $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem