NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 276

a) W dużym trójkącie kąt przy wspólnym wierzchołku ma [ 180^\circ-98^\circ-(40^\circ+20^\circ)=22^\circ, ] więc $\alpha=22^\circ$. Kąt przy przecięciu prostych w drugim trójkącie, wyznaczony z $98^\circ$ i $40^\circ$, ma $42^\circ$. W trójkącie prostokątnym [ \beta=180^\circ-90^\circ-42^\circ=48^\circ. ]

b) W lewym trójkącie trzeci kąt ma [ 180^\circ-33^\circ-87^\circ=60^\circ. ] Kąt wierzchołkowy jest równy, więc $\alpha=60^\circ$. W trójkącie prostokątnym $\beta=90^\circ-\alpha=30^\circ$.

Kąt przy $C$ ma $90^\circ$, a dwusieczna dzieli kąt przy $A$ na połowy.

a) $\angle A=30^\circ$, więc $\angle B=60^\circ$ i $\angle PAB=15^\circ$. W trójkącie $APB$: [ \angle APB=180^\circ-15^\circ-60^\circ=105^\circ. ]

b) $\angle A=35^\circ$, więc $\angle B=55^\circ$ i $\angle PAB=17{,}5^\circ$. Zatem [ \angle APB=180^\circ-17{,}5^\circ-55^\circ=107{,}5^\circ. ]

Oznaczmy dwa kąty pozostające w stosunku $2:3$ przez $2x$ i $3x$. Najmniejszy ma $2x$, więc trzeci ma $2x+26^\circ$. Z sumy kątów: [ 2x+3x+(2x+26^\circ)=180^\circ, ] stąd $x=22^\circ$.

Trzeci kąt trójkąta ma miarę [ \angle C=180^\circ-32^\circ-108^\circ=40^\circ. ] Połówki kątów przy $A,B,C$ mają odpowiednio $16^\circ,54^\circ,20^\circ$. Jeśli $I$ jest punktem przecięcia dwusiecznych, to [ \angle AIB=110^\circ,\quad \angle BIC=106^\circ,\quad \angle CIA=144^\circ. ] Przedłużenia dwusiecznych tworzą przy $I$ kąty dopełniające je do $180^\circ$: $70^\circ,74^\circ,36^\circ$. Uzupełniając sumę kątów w każdym z sześciu małych trójkątów, otrzymujemy zestawy: [ \begin{gathered} (16^\circ,128^\circ,36^\circ),\quad (52^\circ,54^\circ,74^\circ),\quad (54^\circ,56^\circ,70^\circ),\ (124^\circ,20^\circ,36^\circ),\quad (20^\circ,86^\circ,74^\circ),\quad (94^\circ,16^\circ,70^\circ). \end{gathered} ]