NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 274

Jeśli miary kątów przyległych są w stosunku $p:q$, oznaczamy je przez $pk$ i $qk$. Ich suma jest równa $180^\circ$.

a) $k+2k=180^\circ$, więc kąty mają miary $60^\circ$ i $120^\circ$.

b) $k+3k=180^\circ$, więc $45^\circ$ i $135^\circ$.

c) $k+5k=180^\circ$, więc $30^\circ$ i $150^\circ$.

d) $5k+7k=180^\circ$, zatem $k=15^\circ$ i kąty mają miary $75^\circ$ oraz $105^\circ$.

Oznaczmy krótszy bok przez $a$. Przekątna ma długość $2a$, więc z twierdzenia Pitagorasa dłuższy bok ma długość [ \sqrt{(2a)^2-a^2}=a\sqrt3. ] W trójkącie utworzonym przez boki i przekątną stosunek przyprostokątnych wynosi $1:\sqrt3$, zatem jego kąty ostre mają $30^\circ$ i $60^\circ$. Każda przekątna tworzy z dłuższym bokiem kąt $30^\circ$, więc mniejszy kąt między przekątnymi ma $60^\circ$. Kąt do niego przyległy ma $120^\circ$.

Niech $\gamma$ będzie kątem wierzchołkowym do $\alpha$ przy pierwszym przecięciu siecznej z prostą równoległą. Kąty wierzchołkowe są równe, więc $\alpha=\gamma$. Kąty $\gamma$ i $\beta$ są odpowiadające przy prostych równoległych, zatem $\gamma=\beta$. W konsekwencji $\alpha=\beta$.

Ze skanu: $\angle BAC=25^\circ$, $\angle ABD=50^\circ$, $\angle DBC=30^\circ$, a $AB\parallel CD$.

Dla trójkąta $CDP$ kąty naprzemianległe dają [ \angle DCP=25^\circ,\qquad \angle CDP=50^\circ. ] Trzeci kąt ma więc $180^\circ-25^\circ-50^\circ=105^\circ$.

W trójkącie $ABC$: [ \angle ACB=180^\circ-25^\circ-(50^\circ+30^\circ)=75^\circ. ] Ponieważ $P$ leży na $AC$ i $BD$, w trójkącie $CBP$ mamy kąty $75^\circ$ przy $C$, $30^\circ$ przy $B$ i $75^\circ$ przy $P$.