Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 272

rozdział 5. Funkcja liniowa · temat „Przed maturą z matematyki na poziomie rozszerzonym” · 8 zadań z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Zadanie 1

Rozważamy tutaj, jak z trzech kolejnych wierzchołków równoległoboku wyznaczyć prostą zawierającą bok CD i znaleźć jej punkt przecięcia z osią x.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

W równoległoboku $D=A+C-B$ , więc [ D=(-1,2)+(4,-2)-(-2,-1)=(5,1). ] Prosta $CD$ jest równoległa do $AB$ . Jej współczynnik kierunkowy wynosi [ a_{CD}=a_{AB}=\frac{-1-2}{-2-(-1)}=3. ] Przechodząc przez $C=(4,-2)$ , ma równanie $y=3x-14$ . Dla $y=0$ otrzymujemy $x_0=\frac{14}{3}$ .

Odpowiedź

$x_0=\frac{14}{3}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Zadanie pokazuje, jak rozwiązać układ z parametrem i wskazać najmniejszą niezerową liczbę całkowitą, dla której obie współrzędne rozwiązania są dodatnie.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ponieważ $m\ne0$ , drugie równanie dzielimy przez $m$ : [ x+y=2m-550. ] Razem z $2x-y=m-170$ otrzymujemy [ x=m-240,\qquad y=m-310. ] Obie liczby mają być dodatnie, więc $m>310$ . Najmniejsza całkowita wartość to $311$ .

Odpowiedź

$m=311$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 3.1

Tutaj należy porównać nachylenia boków czworokąta o danych wierzchołkach i wykazać, że nie spełnia on warunków trapezu prostokątnego.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Współczynniki kierunkowe boków wynoszą [ a_{AB}=0,\quad a_{BC}=2,\quad a_{CD}=-\frac25,\quad a_{DA}=2. ] Zatem $BC\parallel AD$ , więc czworokąt jest trapezem. Żadne ramię nie jest prostopadłe do podstaw: $0\cdot2\ne-1$ oraz $-\frac25\cdot2\ne-1$ . Nie jest więc trapezem prostokątnym.

Odpowiedź

Czworokąt $ABCD$ nie jest trapezem prostokątnym.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 3.2

Celem ćwiczenia jest to, by obliczyć długości przekątnych i ich wzajemne położenie, a następnie uzasadnić wzór na pole czworokąta jako połowę ich iloczynu.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wektory przekątnych to [ \overrightarrow{AC}=(8,4),\qquad \overrightarrow{BD}=(-3,6). ] Ich iloczyn skalarny wynosi $8\cdot(-3)+4\cdot6=0$ , więc przekątne są prostopadłe. Mają długości [ |AC|=4\sqrt5,\qquad |BD|=3\sqrt5. ] Przekątne dzielą czworokąt na cztery trójkąty prostokątne. Suma ich pól jest równa połowie iloczynu długości przekątnych, zatem [ P=\frac12|AC|,|BD|=\frac12\cdot4\sqrt5\cdot3\sqrt5=30. ] To dowodzi żądanej równości.

Odpowiedź

$P_{ABCD}=\frac12|AC|\cdot|BD|=30$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 4

W tym przykładzie trzeba narysować obszar ograniczony trzema prostymi i policzyć wszystkie punkty o obu współrzędnych całkowitych leżące w powstałym trójkącie.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Wierzchołki trójkąta to przecięcia podanych prostych: $(0,-5)$ , $(0,3)$ i $(3,4)$ . Liczymy punkty kratowe pionowymi kolumnami: [ x=0:9,\qquad x=1:6,\qquad x=2:3,\qquad x=3:1. ] Łącznie jest [ 9+6+3+1=19 ] punktów, przy czym uwzględniono także brzeg trójkąta.

Odpowiedź

Do trójkąta należy $19$ punktów o obu współrzędnych całkowitych.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 5

Trzeba tu dla dwóch prostych zależnych od parametru wyznaczyć ich punkt wspólny i dowieść, że niezależnie od parametru leży on w trzeciej ćwiartce.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozwiązujemy układ przez porównanie prawych stron: [ (m^2+2)x-1=-(n^2+1)x-3. ] Stąd [ x=-\frac2{m^2+n^2+3}<0. ] Ponadto $y=(m^2+2)x-1<0$ . Obie współrzędne punktu przecięcia są ujemne, więc punkt zawsze leży w III ćwiartce.

Odpowiedź

Proste przecinają się zawsze w III ćwiartce układu współrzędnych.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 6

Zadanie sprawdza, czy potrafisz wykazać, że na prostej o niewymiernym nachyleniu istnieje dokładnie jeden punkt, którego obie współrzędne są wymierne.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Niech $(x,y)$ ma obie współrzędne wymierne i leży na prostej. Wtedy [ \sqrt6,x=y+1. ] Gdyby $x\ne0$ , mielibyśmy $\sqrt6=\frac{y+1}{x}$ , czyli liczbę wymierną, co jest sprzeczne. Zatem $x=0$ , a wtedy $y=-1$ .

Odpowiedź

Jedynym takim punktem jest $(0,-1)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu

Zadanie 7

Celem jest to, by przeanalizować dwa możliwe położenia trzeciego boku względem danych prostych i udowodnić, że pole trójkąta może przyjąć tylko dwie wartości.

brak w kluczu

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Ze skanu odczytujemy [ k:y=\frac12x+2,\qquad l:y=-\frac13x-\frac43,\qquad A=k\cap l=(-4,0). ] Punkt $P=(2,-2)$ leży na $l$ . Są dwa ustawienia kąta prostego.

Jeżeli druga przyprostokątna przechodząca przez $P$ jest prostopadła do $k$ , ma współczynnik $-2$ i przecina $k$ w $B=(0,2)$ . Wtedy $P_{ABP}=10$ .

Jeżeli jest prostopadła do $l$ , ma współczynnik $3$ i przecina $k$ w $C=(4,4)$ . Wtedy $P_{ACP}=20$ .

Odpowiedź

Możliwe pola trójkąta to $10$ i $20$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: brak w kluczu