NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 271

Prosta $l$ przecina oś $OX$ w punkcie $(-4,0)$. Prosta $k$ ma ten sam punkt przecięcia z osią i współczynnik kierunkowy $-2$, bo jest prostopadła do prostej o współczynniku $\frac12$. Zatem [ y=-2(x+4)=-2x-8. ]

Funkcja jest malejąca, gdy jej współczynnik kierunkowy jest ujemny: [ \frac32m+9<0,\qquad m<-6. ] Największą liczbą całkowitą spełniającą ten warunek jest $-7$.

Proste mają równania [ y=2x-2,\qquad y=\frac12x+\frac52,\qquad y=0. ] Ich przecięcia z osią $OX$ to $(1,0)$ oraz $(-5,0)$. Punkt przecięcia dwóch pozostałych prostych spełnia [ 2x-2=\frac12x+\frac52, ] więc jest równy $(3,4)$. Podstawa trójkąta ma długość $6$, a wysokość $4$, zatem [ P=\frac12\cdot6\cdot4=12. ]

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez $P=(2,-4)$ i $Q=(-2,2)$ wynosi [ a_{PQ}=\frac{2-(-4)}{-2-2}=-\frac32. ] Jeden z dwóch pozostałych boków jest zawarty w prostej $y=\frac23x-6$, a [ -\frac32\cdot\frac23=-1. ] Prosta trzeciego boku jest więc prostopadła do jednego z pozostałych boków. Ich punkt przecięcia jest wierzchołkiem kąta prostego, co kończy dowód.

Obliczamy współczynniki kierunkowe sąsiednich boków: [ a_{AB}=\frac{-3-(-5)}{8-0}=\frac14,\qquad a_{BC}=\frac{5-(-3)}{4-8}=-2. ] Iloczyn wynosi $-\frac12$, więc boki $AB$ i $BC$ nie są prostopadłe. Równoległobok nie ma kąta prostego, a zatem nie jest prostokątem.

Dla kolejnych wierzchołków równoległoboku [ D=A+C-B=(0,-5)+(4,5)-(8,-3)=(-4,3). ] Prosta $AD$ ma współczynnik $-2$ i przechodzi przez $A$, więc [ AD:\ y=-2x-5. ] Prosta $CD$ ma współczynnik $\frac14$ i przechodzi przez $C$, więc [ CD:\ y=\frac14x+4. ]

Skoro przeciwprostokątna leży na $x=-3$, jednym jej końcem jest $A=(-3,-5)$, a drugi oznaczmy $C=(-3,t)$. Punkt $B=(3,4)$ jest wierzchołkiem kąta prostego. Warunek $\overrightarrow{BA}\perp\overrightarrow{BC}$ daje [ (-6,-9)\cdot(-6,t-4)=36-9(t-4)=0, ] stąd $t=8$. Przeciwprostokątna $AC$ ma długość $13$, a odległość punktu $B$ od prostej $x=-3$ wynosi $6$. Zatem [ P=\frac12\cdot13\cdot6=39. ]

Pierwsza prosta przecina osie w $(-3,0)$ i $(0,5)$, a druga w $(4,0)$ i $(0,-6)$. Czworokąt ma więc prostopadłe przekątne leżące na osiach, o długościach odpowiednio $7$ i $11$. Stąd [ P=\frac12\cdot7\cdot11=\frac{77}{2}=38{,}5. ]

Wektor boku $PS$ jest równy $(2,4)$. Prostopadły do niego bok może mieć wektor $(8,-4)$; właśnie ten wybór prowadzi od $S$ do punktu na osi $OX$: [ R=S+(8,-4)=(7,0). ] Przekątne prostokąta dzielą się na połowy, więc ich punkt przecięcia jest środkiem odcinka $PR$: [ \left(\frac{-3+7}{2},\frac{0+0}{2}\right)=(2,0). ]

Bok $BC$ ma współczynnik [ a_{BC}=\frac{0-(-2)}{4-0}=\frac12. ] Ponieważ $AD\parallel BC$, prosta $AD$ przechodząca przez $A=(-2,0)$ ma równanie $y=\frac12x+1$. Trapez jest prostokątny, więc $CD\perp BC$; prosta $CD$ przechodząca przez $C=(4,0)$ ma równanie $y=-2x+8$.

Ich punkt przecięcia spełnia [ \frac12x+1=-2x+8, ] czyli $x=\frac{14}{5}$ i $y=\frac{12}{5}$.