NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 270

Ze skanu prosta $k$ przechodzi przez $(-3,0)$ i $(0,3)$, więc ma równanie $y=x+3$. Po przyrównaniu każdego z podanych wzorów do $x+3$ otrzymujemy całkowite współrzędne przecięcia tylko w dwóch przypadkach: [ \begin{aligned} C:&\quad -2x-6=x+3 &&\Rightarrow (-3,0),\ F:&\quad \frac12x+2=x+3 &&\Rightarrow (-2,1). \end{aligned} ] W pozostałych przypadkach co najmniej jedna współrzędna nie jest całkowita albo proste są równoległe.

Współczynnik kierunkowy przekątnej $KM$ wynosi [ a_{KM}=\frac{1-(-5)}{8-(-4)}=\frac12. ] Przekątne rombu są prostopadłe, więc $a_{LN}\cdot\frac12=-1$, skąd $a_{LN}=-2$.

Współczynniki kierunkowe przekątnych są równe [ a_{AC}=\frac{3-(-3)}{4-(-4)}=\frac34,\qquad a_{BD}=\frac{7-1}{-4-4}=-\frac34. ] Ich iloczyn to $-\frac9{16}$, a nie $-1$. Zatem proste zawierające przekątne nie są prostopadłe.

Podstawami są pionowe boki $AD$ i $BC$, więc ramiona to $AB$ oraz $CD$. Równania prostych zawierających ramiona: [ AB:\ y=\frac12x-1,\qquad CD:\ y=-\frac12x+5. ] Rozwiązujemy [ \frac12x-1=-\frac12x+5, ] stąd $x=6$ i $y=2$.

Skoro miejscem zerowym jest $6$, to $f(6)=0$: [ \frac23\cdot6+c=0,\qquad 4+c=0. ]

Porządkujemy oba wzory: [ y=\frac23x-(1-x)=\frac53x-1, ] [ y=0{,}4x-(x-1)=-0{,}6x+1=-\frac35x+1. ] Iloczyn współczynników kierunkowych wynosi [ \frac53\cdot\left(-\frac35\right)=-1, ] więc proste są prostopadłe.