NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 269

Ze skanu odczytujemy $A=(2,1)$ i $B=(-2,3)$, a druga prosta będąca bokiem trójkąta ma równanie $x=-2$. Prosta $AB$ ma współczynnik $-\frac12$, więc prostopadła do niej przechodząca przez $A$ ma współczynnik $2$: [ y-1=2(x-2). ] Dla $x=-2$ otrzymujemy trzeci wierzchołek $C=(-2,-7)$. Długości przyprostokątnych: [ |AB|=\sqrt{(-4)^2+2^2}=2\sqrt5,\qquad |AC|=\sqrt{(-4)^2+(-8)^2}=4\sqrt5. ] Zatem [ P=\frac12\cdot2\sqrt5\cdot4\sqrt5=20. ]

Przekątne łączą punkty $P$ z $R$ oraz $Q$ z $S$. Dla $QS$ mamy [ a_{QS}=\frac{-2-(-4)}{1-3}=-1. ] Podstawiając $Q=(3,-4)$ do $y=-x+b$, otrzymujemy $b=-1$.

Z dwóch punktów kratowych na wykresie odczytujemy, że przy wzroście $x$ o $4$ wartość $y$ maleje o $3$. Zatem $a_k=-\frac34$.

Pierwsza prosta ma taki sam współczynnik, więc jest równoległa do $k$ — zdanie jest prawdziwe. Dla drugiej prostej [ \frac34\cdot\left(-\frac34\right)=-\frac9{16}\ne-1, ] więc nie jest ona prostopadła do $k$ — zdanie jest fałszywe.

Ze skanu odczytujemy $A=(-3,1)$ i $B=(3,5)$. Zatem [ a_{AB}=\frac{5-1}{3-(-3)}=\frac23. ] Wysokość opuszczona z $C$ jest prostopadła do $AB$, więc jej współczynnik wynosi $-\frac32$, a nie $-\frac23$. Pierwsze zdanie jest fałszywe.

Dla $C=(9,-4)$: [ a_{BC}=\frac{-4-5}{9-3}=-\frac32,\qquad a_{AB}a_{BC}=-1. ] Zatem $AB\perp BC$ i trójkąt jest prostokątny. Drugie zdanie jest prawdziwe.

Ze skanu: $A=(-3,1)$, $B=(3,5)$, a z treści $C=(1,-1)$.

Dla $AC$: [ a_{AC}=\frac{-1-1}{1-(-3)}=-\frac12,\qquad -1=-\frac12\cdot1+b,\quad b=-\frac12. ] Dla $BC$: [ a_{BC}=\frac{-1-5}{1-3}=3,\qquad -1=3\cdot1+b,\quad b=-4. ]