NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 27

Dwie pierwsze cyfry po przecinku, $1$ i $9$, nie należą do okresu. Dalej powtarza się sześciocyfrowy blok

$1,a,b,6,9,3.$

Okres zaczyna się na trzecim miejscu. Miejsce jedenaste odpowiada trzeciej cyfrze okresu, czyli cyfrze $b$. Z warunku zadania

$b=3.$

Miejsce dwudzieste drugie odpowiada drugiej cyfrze okresu, czyli cyfrze $a$. Stąd

$a=6.$

Sprawdzamy rozkład mianownika ułamka nieskracalnego. W każdym podpunkcie licznik nie ma wspólnego czynnika z mianownikiem.

a) $320=2^6\cdot5$. W mianowniku występują tylko czynniki $2$ i $5$, więc rozwinięcie jest skończone.

b) $480=2^5\cdot3\cdot5$. Czynnik $3$ powoduje, że rozwinięcie jest okresowe.

c) $22\,400=2^7\cdot5^2\cdot7$. Czynnik $7$ oznacza rozwinięcie okresowe.

d) $51\,200=2^{11}\cdot5^2$. Są tylko czynniki $2$ i $5$, więc rozwinięcie jest skończone.

a) Dla czystego okresu dwucyfrowego

$0{,}(36)=\frac{36}{99}=\frac4{11}.$

b)

$3{,}(72)=3+\frac{72}{99}=3+\frac8{11}=\frac{41}{11}.$

c)

=-\left(6+\frac8{33}\right)=-\frac{206}{33}.$$ **d)** $$0{,}(9)=\frac99=1.$$ **e)** Niech $x=41{,}7(9)=41{,}7999\ldots$. Wtedy $$100x-10x=4179{,}999\ldots-417{,}999\ldots=3762,$$ czyli $90x=3762$ i $x=\frac{209}{5}$. **f)** Niech $x=2{,}1(52)=2{,}152525\ldots$. Mamy $$1000x-10x=2152{,}52525\ldots-21{,}52525\ldots=2131,$$ zatem $990x=2131$ i $x=\frac{2131}{990}$.

Najpierw zamieniamy rozwinięcia okresowe:

$x=0{,}(6)=\frac69=\frac23,$

$y=4{,}(36)=4+\frac{36}{99}=4+\frac4{11}=\frac{48}{11}.$

a)

=\frac{22+144}{33}=\frac{166}{33}=5\frac1{33}.$$ **b)** $$x^2-y=\frac49-\frac{48}{11} =\frac{44-432}{99}=-\frac{388}{99}=-3\frac{91}{99}.$$ **c)** $$x+\frac1y=\frac23+\frac{11}{48} =\frac{32+11}{48}=\frac{43}{48}.$$

Okres $1x2y3$ ma długość $5$. Ponieważ

$22=4\cdot5+2,\qquad 23=4\cdot5+3,\qquad 24=4\cdot5+4,$

na miejscach $22$, $23$, $24$ znajdują się odpowiednio cyfry $x$, $2$, $y$.

Cyfra na miejscu $23$ jest dwukrotnie większa od poprzedniej, więc

$2=2x,\qquad x=1.$

Jest też trzykrotnie mniejsza od cyfry na miejscu $24$, zatem

$y=3\cdot2=6.$

Każdy następny ułamek otrzymujemy, dodając licznik i mianownik poprzedniego ułamka oraz przyjmując stary licznik jako nowy mianownik. Otrzymujemy:

Dokładność do $0{,}005$ oznacza błąd mniejszy niż $0{,}005$. Warunek spełniają trzy ostatnie ułamki.