NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony, strona 26 — rozwiązania zadań

Zadanie 1

Głównym celem jest to, by z trzech znanych rozwinięć prostych ułamków wyprowadzić pięć powiązanych zapisów dziesiętnych okresowych.

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z podanych rozwinięć i mnożymy je przez odpowiednie liczby.

a) $\frac79=7\cdot\frac19=0{,}(7)$ .

b) $\frac1{60}=\frac1{10}\cdot\frac16=0{,}01(6)$ .

c) $\frac1{300}=\frac1{100}\cdot\frac13=0{,}00(3)$ .

d) $\frac5{900}=\frac1{180}=\frac1{30}\cdot\frac16=0{,}00(5)$ .

e) $\frac{11}{30}=\frac13+\frac1{30}=0{,}3(6)$ .

Odpowiedź

a) $0{,}(7)$ , b) $0{,}01(6)$ , c) $0{,}00(3)$ , d) $0{,}00(5)$ , e) $0{,}3(6)$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Zadanie 2

Pracujemy tutaj nad tym, jak w okresach ułamków 2/7 i 5/7 ustalić cyfry na pozycjach 24 oraz 100 za pomocą reszt z dzielenia numeru miejsca przez 6.

2 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Mamy

$\frac27=0{,}(285714),\qquad \frac57=0{,}(714285).$

Oba okresy mają długość $6$ .

a) $24$ jest wielokrotnością $6$ , więc na miejscu $24$ stoi ostatnia cyfra okresu liczby $\frac27$ , czyli $4$ . Ponieważ $100=16\cdot6+4$ , na miejscu $100$ stoi czwarta cyfra okresu, czyli $7$ .

b) Na miejscu $24$ stoi szósta cyfra okresu liczby $\frac57$ , czyli $5$ . Na miejscu $100$ stoi czwarta cyfra, czyli $2$ .

Odpowiedź

a) na miejscu $24$ : $4$ , na miejscu $100$ : $7$ ;

b) na miejscu $24$ : $5$ , na miejscu $100$ : $2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 6

Zaokrąglamy pięć dodatnich liczb dziesiętnych do najbliższej liczby całkowitej na podstawie cyfry części dziesiętnej.

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Przy zaokrąglaniu do liczby całkowitej sprawdzamy pierwszą cyfrę po przecinku.

a) $20{,}9813\approx21$ , bo pierwszą odrzuconą cyfrą jest $9$ .

b) $19{,}901\approx20$ , bo pierwszą odrzuconą cyfrą jest $9$ .

c) $0{,}401\approx0$ , bo pierwszą odrzuconą cyfrą jest $4$ .

d) $1{,}099\approx1$ , bo pierwszą odrzuconą cyfrą jest $0$ .

e) $2{,}49957\approx2$ , bo pierwszą odrzuconą cyfrą jest $4$ .

Odpowiedź

a) $21$ , b) $20$ , c) $0$ , d) $1$ , e) $2$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 7

Należy tutaj dla trzech liczb wyznaczyć zaokrąglenia do czterech, trzech, dwóch i jednego miejsca po przecinku.

4 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Za każdym razem zachowujemy $n$ cyfr po przecinku i sprawdzamy następną cyfrę.

a) $n=4$ .

$x\approx7{,}8952,\qquad y\approx9{,}9963,\qquad z\approx5{,}9039.$

b) $n=3$ .

$x\approx7{,}895,\qquad y\approx9{,}996,\qquad z\approx5{,}904.$

c) $n=2$ .

$x\approx7{,}90,\qquad y\approx10{,}00,\qquad z\approx5{,}90.$

d) $n=1$ .

$x\approx7{,}9,\qquad y\approx10{,}0,\qquad z\approx5{,}9.$

Zera końcowe w podpunkcie c) zapisano po to, aby zaznaczyć dokładność do dwóch miejsc po przecinku.

Odpowiedź

a) $7{,}8952$ , $9{,}9963$ , $5{,}9039$ ;

b) $7{,}895$ , $9{,}996$ , $5{,}904$ ;

c) $7{,}90$ , $10{,}00$ , $5{,}90$ ;

d) $7{,}9$ , $10{,}0$ , $5{,}9$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 8

To ćwiczenie sprawdza, czy potrafisz zaokrąglić liczbę pi do dokładności od sześciu do dwóch miejsc oraz określić, czy każdy wynik jest nadmiarem czy niedomiarem.

5 podpunktów

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Korzystamy z $\pi=3{,}141592653\ldots$ .

a) Do sześciu miejsc: siódma cyfra to $6$ , więc $3{,}141593>\pi$ — z nadmiarem.

b) Do pięciu miejsc: szósta cyfra to $2$ , więc $3{,}14159<\pi$ — z niedomiarem.

c) Do czterech miejsc: piąta cyfra to $9$ , więc $3{,}1416>\pi$ — z nadmiarem.

d) Do trzech miejsc: czwarta cyfra to $5$ , więc $3{,}142>\pi$ — z nadmiarem.

e) Do dwóch miejsc: trzecia cyfra to $1$ , więc $3{,}14<\pi$ — z niedomiarem.

Odpowiedź

a) $3{,}141593$ — z nadmiarem; b) $3{,}14159$ — z niedomiarem; c) $3{,}1416$ — z nadmiarem; d) $3{,}142$ — z nadmiarem; e) $3{,}14$ — z niedomiarem.

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem