NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 266

Początkowo w basenie było

$y(0)=9000\ \text{l}.$

Pozostałe $40\%$ tej ilości to

$0{,}4\cdot9000=3600\ \text{l}.$

Rozwiązujemy więc równanie

$$9000-60x=3600 \iff 60x=5400 \iff x=90.$$

Jest to $90$ minut, czyli $1{,}5$ godziny.

Niech $x$ oznacza liczbę dostaw zrealizowanych w ciągu siedmiu dni w każdej pizzerii. Zarobek w Milano wynosi

$7\cdot48+3x=336+3x,$

a w Torino

$7\cdot60+2{,}4x=420+2{,}4x.$

Zarobki były równe, więc

$$336+3x=420+2{,}4x \iff 0{,}6x=84 \iff x=140.$$

Wówczas

$336+3\cdot140=756\ \text{zł},$

a drugi wzór daje tę samą kwotę.

a) W wariancie I za $150$ km ponad limit płaci się dodatkowo $150$ zł, więc koszt wynosi $800+150=950$ zł. W wariancie II przekroczenie limitu wynosi $50$ km, zatem koszt to $600+1{,}8\cdot50=690$ zł.

b) Dla $x\ge0$ funkcje kosztu mają postać

$$f_I(x)= \begin{cases} 800,&0\le x\le200,\\ x+600,&x>200, \end{cases}$$

oraz

$$f_{II}(x)= \begin{cases} 600,&0\le x\le300,\\ 1{,}8x+60,&x>300. \end{cases}$$

c) Dla $x\le300$ wariant I nie jest tańszy. Dla $x>300$ rozwiązujemy

$$x+600<1{,}8x+60 \iff 540<0{,}8x \iff x>675.$$

Niech $f(x)=ax+b$ oznacza koszt chodnika długości $x$ metrów. Przyrost kosztu między $160$ m a $240$ m wynosi $34\,000$ zł, więc

$$a=\frac{104\,000-70\,000}{240-160} =\frac{34\,000}{80}=425.$$

Z warunku $f(160)=70\,000$ mamy

$70\,000=425\cdot160+b,$

stąd $b=2000$. Zatem

$f(180)=425\cdot180+2000=78\,500.$

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez $A$ i $B$ wynosi

$$a=\frac{3-0}{5-\frac72} =\frac{3}{\frac32}=2.$$

Ponieważ prosta przechodzi przez $B\left(\frac72,0\right)$, jej równanie to

$y=2\left(x-\frac72\right)=2x-7.$

Odbicie od osi $OX$ zmienia znak współczynnika kierunkowego, ale punkt odbicia pozostaje ten sam. Prosta zawierająca promień odbity ma więc równanie

$y=-2\left(x-\frac72\right)=-2x+7.$