NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 265

Szukamy tych $x$, dla których współrzędna $y$ punktu prostej spełnia $y\le0$.

a)

$6x+18\le0\iff x\le-3.$

b)

\iff -\frac52x\le10 \iff x\ge-4.$$ **c)** Z równania prostej otrzymujemy $y=4-\sqrt2x$. Zatem

4-\sqrt2x\le0 \iff x\ge\frac4{\sqrt2}=2\sqrt2.

$$$$

Wyznaczamy współczynniki kierunkowe prostych przechodzących przez każdą parę wierzchołków.

a)

$$a_{AB}=\frac{6}{8}=\frac34, \quad a_{AC}=\frac8{-6}=-\frac43, \quad a_{BC}=\frac{8-6}{-6-8}=-\frac17.$$

Ponieważ $A=(0,0)$, proste $AB$ i $AC$ mają odpowiednio równania $y=\frac34x$ i $y=-\frac43x$. Po podstawieniu punktu $B$ do równania $BC$ otrzymujemy $y=-\frac17x+\frac{50}{7}$. Iloczyn $\frac34\cdot(-\frac43)=-1$, więc $AB\perp AC$ i trójkąt jest prostokątny w $A$.

b)

$$a_{AB}=\frac{1-0}{1-(-6)}=\frac17, \quad a_{AC}=\frac{4-0}{-3-(-6)}=\frac43, \quad a_{BC}=\frac{4-1}{-3-1}=-\frac34.$$

Stąd

$$AB:\ y=\frac17x+\frac67, \qquad AC:\ y=\frac43x+8, \qquad BC:\ y=-\frac34x+\frac74.$$

Ponieważ $\frac43\cdot(-\frac34)=-1$, boki $AC$ i $BC$ są prostopadłe, więc kąt przy $C$ jest prosty.

Kolejne współczynniki kierunkowe wynoszą

$$a_{AB}=\frac{0-(-3)}{4-(-2)}=\frac12, \quad a_{BC}=\frac{4-0}{2-4}=-2,$$ $$a_{CD}=\frac{1-4}{-4-2}=\frac12, \quad a_{DA}=\frac{-3-1}{-2-(-4)}=-2.$$

Po podstawieniu odpowiednich wierzchołków dostajemy

$$AB:\ y=\frac12x-2, \quad BC:\ y=-2x+8,$$ $$CD:\ y=\frac12x+3, \quad AD:\ y=-2x-7.$$

Przeciwległe boki mają równe współczynniki kierunkowe, więc są równoległe. Dodatkowo $\frac12\cdot(-2)=-1$, zatem każde dwa sąsiednie boki są prostopadłe. Czworokąt jest więc prostokątem.

W każdym podpunkcie sprowadzamy równania do postaci kierunkowej. Punkt przecięcia prostych jest rozwiązaniem układu.

a) Proste mają równania $y=x+5$ i $y=-2x-4$. Z dodania równań układu stronami otrzymujemy $3x=-9$, więc $x=-3$, a następnie $y=2$.

b) Mamy $y=3x-3$ oraz $y=\frac13x+5$. Zatem

$3x-3=\frac13x+5\iff x=3,$

a $y=6$.

c) Równania kierunkowe to

\quad\text{i}\quad y=\frac32x+2.$$ Proste mają jednakowe nachylenie i różne wyrazy wolne, więc są równoległe i układ jest sprzeczny. **d)** Mamy $y=-\frac34x-\frac{19}{4}$ oraz $y=\frac12x+\frac32$. Po porównaniu prawych stron dostajemy $x=-5$, $y=-1$. **e)** Po uproszczeniu: $$y=\frac14x+3, \qquad y=\frac18x+4.$$ Ich przecięcie spełnia $\frac14x+3=\frac18x+4$, więc $x=8$, $y=5$. **f)** Pierwsze równanie daje $y=\frac34x-1$, a drugie $y=\frac32x+5$. Stąd $x=-8$ i $y=-7$.

Wierzchołkami są parami wyznaczone punkty przecięcia trzech prostych.

a) Z $x+2=-x+2$ dostajemy $(0,2)$. Z równań $l_1,l_3$ otrzymujemy $(1,3)$, a z $l_2,l_3$ — $(2,0)$. Dla wektorów wychodzących z $(0,2)$:

$$\vec u=(1,1),\qquad \vec v=(2,-2),$$

więc

$P=\frac12|1\cdot(-2)-1\cdot2|=2.$

b) Zapisujemy $l_1:y=2x+6$, $l_2:y=\frac34x+1$ i $l_3:y=4$. Przecięcia to odpowiednio

l_2\cap l_3=(4,4),\quad l_1\cap l_3=(-1,4).$$ Odcinek na prostej $y=4$ ma długość $5$, a wysokość opuszczona z $(-4,-2)$ ma długość $6$, zatem $P=\frac12\cdot5\cdot6=15$. **c)** Mamy $l_1:y=\frac12x-2$, $l_2:y=-\frac34x+7$ i $l_3:x=-2$. Stąd

l_1\cap l_3=(-2,-3),\quad l_2\cap l_3=\left(-2,\frac{17}{2}\right),\quad l_1\cap l_2=\left(\frac{36}{5},\frac85\right).

Pionowa podstawa ma długość $\frac{23}{2}$, a odległość trzeciego wierzchołka od prostej $x=-2$ wynosi $\frac{46}{5}$. Zatem $$P=\frac12\cdot\frac{23}{2}\cdot\frac{46}{5} =\frac{529}{10}=52{,}9.$$

Każdy z dwóch podanych boków przecina obie przekątne w dwóch wierzchołkach rombu.

Dla prostej $x-2y-5=0$ rozwiązujemy kolejno układy z przekątnymi:

$$\begin{cases}x-2y=5\\3x+4y=10\end{cases} \Longrightarrow \left(4,-\frac12\right),$$ $$\begin{cases}x-2y=5\\4x-3y=5\end{cases} \Longrightarrow (-1,-3).$$

Dla prostej $x-2y+5=0$ otrzymujemy

$$\begin{cases}x-2y=-5\\3x+4y=10\end{cases} \Longrightarrow \left(0,\frac52\right),$$ $$\begin{cases}x-2y=-5\\4x-3y=5\end{cases} \Longrightarrow (5,5).$$

Jeden brakujący bok przechodzi przez $(-1,-3)$ i $\left(0,\frac52\right)$, więc ma współczynnik kierunkowy $\frac{11}{2}$ i równanie

$y=\frac{11}{2}x+\frac52.$

Drugi przechodzi przez $\left(4,-\frac12\right)$ i $(5,5)$, ma ten sam współczynnik kierunkowy i równanie

$y=\frac{11}{2}x-\frac{45}{2}.$

Wierzchołki wyznaczamy jako przecięcia par prostych. Następnie prowadzimy z wierzchołka kąta prostego prostą prostopadłą do przeciwległego boku.

a) Ponieważ $\frac34\cdot\left(-\frac43\right)=-1$, kąt prosty leży w punkcie $l\cap m$. Obliczenia przecięć dają

$$k\cap l=(-4,-6),\qquad l\cap m=(4,0), \qquad k\cap m=(1,4).$$

Przeciwległym bokiem jest $k:y=2x+2$. Wysokość przechodząca przez $(4,0)$ ma nachylenie $-\frac12$, więc jej równanie to $y=-\frac12x+2$. Z równania

$2x+2=-\frac12x+2$

otrzymujemy spodek $(0,2)$.

b) Tu $(-2)\cdot\frac12=-1$, więc kąt prosty leży w punkcie $k\cap m$. Przecięcia to

$$k\cap m=(-4,1),\qquad l\cap m=(4,5), \qquad k\cap l=(-1,-5).$$

Przeciwległy bok leży na $l:y=2x-3$. Wysokość z $(-4,1)$ ma równanie $y=-\frac12x-1$. Jej przecięcie z $l$ spełnia

$2x-3=-\frac12x-1,$

stąd $x=\frac45$ i $y=-\frac75$.

Podane proste zawierają dwa sąsiednie boki. Ich wspólny wierzchołek otrzymujemy z równania

$$\frac12x-1=-\frac23x+6,$$

czyli jest to punkt $(6,2)$. Punkt $P=(-1,2)$ nie leży na żadnej z tych prostych, zatem jest wierzchołkiem przeciwległym.

Przez $P$ prowadzimy proste równoległe do danych boków:

$$y=\frac12x+\frac52, \qquad y=-\frac23x+\frac43.$$

Pierwsza z nich przecina bok $y=-\frac23x+6$ w punkcie $(3,4)$. Druga przecina bok $y=\frac12x-1$ w punkcie $(2,0)$. Są to dwa pozostałe wierzchołki.