NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 264

Sprawdzamy równanie prostej przez podstawienie pierwszej współrzędnej każdego punktu.

a)

$$2\cdot5-4=6,\qquad 2\cdot(-3)-4=-10, \qquad 2\cdot\left(-\frac72\right)-4=-11.$$

Wszystkie otrzymane wartości są równe drugim współrzędnym odpowiednich punktów, więc $P$, $Q$ i $R$ należą do prostej.

b)

$$\frac12\cdot(-8)+2=-2,$$

zatem $P$ należy do prostej. Dla $Q$ otrzymujemy $\frac12\cdot9+2=\frac{13}{2}\ne\frac{11}{2}$, więc $Q$ nie należy. Natomiast $\frac12\cdot17+2=\frac{21}{2}=10\frac12$, zatem $R$ należy.

Granice szukanych przedziałów wyznaczamy z równań $f(x)=0$ i $f(x)=2$, a następnie rozwiązujemy odpowiednie nierówności.

a)

$$\frac23x+4<0\iff x<-6, \qquad \frac23x+4>2\iff x>-3.$$

b)

$$-3x+5<0\iff x>\frac53, \qquad -3x+5>2\iff x<1.$$

c)

$$-2{,}5x-3<0\iff x>-\frac65, \qquad -2{,}5x-3>2\iff x<-2.$$

Punkt przecięcia z osią $OY$ ma współrzędne $(0,f(0))$. Punkt przecięcia z osią $OX$ otrzymujemy z równania $f(x)=0$. Pole ograniczonego trójkąta jest równe połowie iloczynu bezwzględnych wartości obu odciętych.

a) $f(0)=3$, a $-\frac13x+3=0$ daje $x=9$. Zatem

$P=\frac12\cdot9\cdot3=\frac{27}{2}.$

b) $f(0)=-8$, a $\frac47x-8=0$ daje $x=14$. Stąd

$P=\frac12\cdot14\cdot8=56.$

c) $f(0)=-\frac{15}{2}$, a $-3x-\frac{15}{2}=0$ daje $x=-\frac52$. Stąd

$P=\frac12\cdot\frac52\cdot\frac{15}{2}=\frac{75}{8}.$

O monotoniczności funkcji liniowej decyduje znak współczynnika przy $x$.

a) Współczynnik kierunkowy wynosi $m+\frac12$. Jest dodatni dla $m>-\frac12$, ujemny dla $m<-\frac12$ i równy zero dla $m=-\frac12$.

b) Współczynnik kierunkowy wynosi $6-\frac23m$. Mamy

$$6-\frac23m>0\iff m<9, \qquad 6-\frac23m<0\iff m>9.$$

Dla $m=9$ współczynnik jest zerowy.

Trzy punkty leżą na wykresie tej samej funkcji liniowej wtedy, gdy odpowiednie współczynniki kierunkowe są równe.

a)

$$a_{AB}=\frac{-10-(-7)}{3-2}=-3, \qquad a_{AC}=\frac{5-(-7)}{-2-2}=-3.$$

Współczynniki są równe, więc punkty są współliniowe.

b)

$$a_{AB}=\frac{-2-(-3)}{-2-(-4)}=\frac12, \qquad a_{BC}=\frac{5-(-2)}{12-(-2)}=\frac12.$$

Także w tym przypadku punkty są współliniowe.

Ponieważ każdy punkt wykresu spełnia $y=ax$, najpierw wyznaczamy $a$ z punktu o znanych obu współrzędnych.

a) $2=a\cdot\frac23$, więc $a=3$. Zatem $k=3\cdot5=15$.

b) $\frac14=a\cdot\frac12$, więc $a=\frac12$. Dla punktu $P$ mamy $6=\frac12k$, skąd $k=12$.

c) $2{,}4=1{,}8a$, więc $a=\frac43$. Stąd $k=\frac43\cdot12=16$.

Proste równoległe mają ten sam współczynnik kierunkowy.

a) Szukana funkcja ma postać $y=-\frac13x+b$. Z warunku $P(6,5)$:

$5=-\frac13\cdot6+b,$

więc $b=7$. Współczynnik kierunkowy jest ujemny, zatem funkcja jest malejąca.

b) Szukana funkcja ma postać $y=\frac14x+b$. Z warunku $P(-6,1)$:

$1=\frac14\cdot(-6)+b,$

więc $b=\frac52$. Współczynnik kierunkowy jest dodatni, zatem funkcja jest rosnąca, a nie malejąca.

Dla prostych o niezerowych, skończonych współczynnikach kierunkowych zachodzi $a_1a_2=-1$. Każda szukana prosta przechodzi przez $P(-3,-1)$.

a) Nachylenie prostopadłe do $\frac12$ wynosi $-2$. Zatem

$y+1=-2(x+3),$

czyli $y=-2x-7$.

b) Nachylenie prostopadłe do $-\frac92$ wynosi $\frac29$. Stąd

$y+1=\frac29(x+3),$

czyli $y=\frac29x-\frac13$.

c) Prosta $l$ jest pozioma, więc prosta prostopadła jest pionowa: $x=-3$.

d) Prosta $l$ jest pionowa, więc szukana jest pozioma: $y=-1$.

e) Z $3x-5y-1=0$ otrzymujemy $y=\frac35x-\frac15$. Prostopadłe nachylenie to $-\frac53$, zatem

$y+1=-\frac53(x+3),$

czyli $y=-\frac53x-6$.

f) Równanie $x-y=y+x$ upraszcza się do $y=0$. Prosta do niej prostopadła i przechodząca przez $P$ ma równanie $x=-3$.

Współczynnik kierunkowy obliczamy jako iloraz przyrostów wartości i argumentów, a następnie wyznaczamy wyraz wolny.

a)

$a=\frac{-1-(-4)}{4-(-2)}=\frac12.$

Z $-4=\frac12\cdot(-2)+b$ wynika $b=-3$, więc $f(x)=\frac12x-3$.

b)

$a=\frac{6-2}{3-(-3)}=\frac23.$

Z $6=\frac23\cdot3+b$ wynika $b=4$, więc $f(x)=\frac23x+4$.

c)

$a=\frac{4-6}{-3-(-8)}=-\frac25.$

Z $4=-\frac25\cdot(-3)+b$ otrzymujemy $b=\frac{14}{5}$, więc $f(x)=-\frac25x+\frac{14}{5}$.

d) Ponieważ $f(0)=0$, wyraz wolny jest równy zero. Ponadto

$a=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2,$

zatem $f(x)=\sqrt2x$.

a) Przenosimy prawą stronę na lewą i wyłączamy wspólny czynnik:

$$m(x-6)-2(x-6)=0 \iff (m-2)(x-6)=0.$$

Dla $m=2$ równanie jest tożsamościowe, więc spełnia je każda liczba rzeczywista. Dla $m\ne2$ musi zachodzić $x=6$.

b) Po uporządkowaniu równania otrzymujemy

$$m^2x-m=9x+3 \iff (m^2-9)x=m+3.$$

Dla $m=3$ dostajemy $0\cdot x=6$, więc równanie jest sprzeczne. Dla $m=-3$ dostajemy $0\cdot x=0$, więc rozwiązaniem jest każde $x\in\mathbb R$. Gdy $m\ne-3$ i $m\ne3$, możemy podzielić przez $(m-3)(m+3)$:

$x=\frac{m+3}{(m-3)(m+3)}=\frac1{m-3}.$