NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 262

W każdym podpunkcie wyznaczamy dwa punkty, np. dla $t=0$ i $t=1$.

a) Dla $t=0$ otrzymujemy $A(-1,-3)$, a dla $t=1$ punkt $B(1,-2)$. Eliminując parametr,

y=-3+\frac{x+1}{2}=\frac12x-\frac52.$$ Szkicujemy prostą przez $A,B$. **b)** Dla $t=0$ mamy $A(-2,2)$, a dla $t=1$ — $B(-1,-1)$. Ponieważ $t=x+2$, $$y=2-3(x+2)=-3x-4.$$ Jest to prosta przechodząca przez wskazane punkty.

Eliminujemy parametr osobno w każdym układzie.

I. Ponieważ $x=t$, mamy od razu $y=1+3x$.

II. Z $x=-1+2t$ wynika $t=\frac{x+1}{2}$. Zatem $y=-2+6\cdot\frac{x+1}{2}=3x+1.$

III. Z $x=1-t$ mamy $t=1-x$, więc $y=4-3(1-x)=3x+1.$ Każdy układ opisuje zatem wszystkie punkty prostej $y=3x+1$.

Punkt należy do prostej tylko wtedy, gdy ta sama wartość $t$ daje obie jego współrzędne.

a) $-10=2-3t$ daje $t=4$; wtedy $4+2t=12$, więc punkt należy.

b) $11=2-3t$ daje $t=-3$; wtedy $4+2t=-2$, więc punkt należy.

c) $\frac32=2-3t$ daje $t=\frac16$; druga współrzędna wynosi $4+\frac13=\frac{13}{3}$, więc punkt należy.

Dla $P(-1,2)$ pierwsze równanie wymusza $t=1$, ale wtedy $y=6\ne2$. Dla $Q(8,4)$ pierwsze równanie daje $t=-2$, lecz wtedy $y=0\ne4$. Żaden z tych dwóch punktów nie leży na $l$.