NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 261

Z diagramu odczytujemy $BC=105$ km oraz $AC=30+105=135$ km. Niech $t$ oznacza czas w godzinach od startu.

a) Odległości od miasta $C$ maleją liniowo: $d_P(t)=105-15t,\qquad 0\le t\le7,$ $d_S(t)=135-22{,}5t,\qquad 0\le t\le6.$ Są to odcinki wykresów od $(0,105)$ do $(7,0)$ oraz od $(0,135)$ do $(6,0)$.

b) Stefan dogoni Piotra, gdy ich odległości od $C$ będą równe: $105-15t=135-22{,}5t.$ Stąd $7{,}5t=30$, czyli $t=4$ godziny.

c) Stefan dojedzie do $C$ po $135:22{,}5=6$ godzinach. Aby spotkanie nastąpiło dopiero tam, Piotr powinien w tym samym czasie przejechać $105$ km, czyli jechać z prędkością $105:6=17{,}5$ km/h. Musi więc zwiększyć prędkość o $17{,}5-15=2{,}5$ km/h.

Niech $t$ oznacza liczbę godzin od 8.00. Rowerzysta przebywa $s_R(t)=20t.$ Samochód rusza dopiero dla $t=2$, więc

\end{cases}$$ **a)** Po starcie samochodu rozwiązujemy $$20t=60(t-2),$$ co daje $t=3$, czyli godzinę 11.00. **b)** O 10.30 jest $t=2{,}5$. Rowerzysta przejechał $50$ km, samochód $60\cdot0{,}5=30$ km, więc dzieli ich $20$ km. **c)** Po wyprzedzeniu samochód ma być o $40$ km dalej: $$60(t-2)-20t=40.$$ Stąd $40t=160$, czyli $t=4$ — godzina 12.00.

Niech $v$ oznacza prędkość turysty, a $u$ — samochodu w km/h. Czas liczymy od wyjścia turysty z Kartuz.

Pierwsze spotkanie nastąpiło po $1$ godzinie i $15$ minutach, czyli dla $t_1=\frac54$ h. Turysta był wtedy w odległości $\frac54v$ od Kartuz, a samochód jechał $\frac14$ h od Ostrzyc. Stąd $\frac14u=15-\frac54v,$ czyli u=60-5v.\tag{1}

Od pierwszego do drugiego spotkania minęło $50$ minut, czyli $\frac56$ h. W tym czasie samochód przejechał od pierwszego spotkania do Kartuz, stał $\frac12$ h, a następnie dojechał do drugiego spotkania. Drugie spotkanie nastąpiło dla $t_2=\frac54+\frac56=\frac{25}{12}\ \text{h}.$ Łączna odległość samochodu w obu odcinkach po postoju to suma położeń turysty w chwilach spotkań: $\frac54v+\frac{25}{12}v=\frac{10}{3}v.$ Na jazdę samochód miał $\frac56-\frac12=\frac13$ h, więc $\frac{\frac{10}{3}v}{u}=\frac13,$ stąd $u=10v$. Z (1): $10v=60-5v$, zatem $v=4$ km/h.

Droga turysty trwała $15:4=\frac{15}{4}\ \text{h}=3\ \text{h}\ 45\ \text{min}.$

Niech $t$ oznacza czas w godzinach. Obaj dojadą do celu po $40:16=2{,}5$ h, więc rozpatrujemy $t\in[0,\frac52]$.

a) Pierwszy rowerzysta oddala się od $A$, a drugi zbliża się do $A$:

t\in\left[0,\frac52\right].$$ Wykresy są odcinkami łączącymi odpowiednio $(0,0)$ z $(\frac52,40)$ oraz $(0,40)$ z $(\frac52,0)$. **b)** Odległość między rowerzystami jest wartością bezwzględną różnicy ich położeń: $$d(t)=|d_2(t)-d_1(t)|=|40-32t|=|32t-40|.$$ Warunek $d(t)=8$ daje $$|32t-40|=8,$$ czyli $32t-40=8$ lub $32t-40=-8$. Otrzymujemy $t=\frac32$ h lub $t=1$ h.