NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 25

Rozwinięcie dziesiętne ułamka otrzymujemy przez dzielenie pisemne $m$ przez $n$. O dalszym przebiegu dzielenia decyduje reszta. Możliwe reszty to

$0,1,2,\ldots,n-1.$

Jeżeli rozwinięcie jest okresowe, a więc nieskończone, reszta $0$ nigdy się nie pojawia. Pozostaje najwyżej $n-1$ różnych reszt niezerowych. Gdy któraś reszta wystąpi ponownie, od tego miejsca powtarzają się także kolejne cyfry ilorazu, czyli rozpoczyna się okres.

W jednym okresie nie może wystąpić więcej różnych stanów dzielenia niż liczba dostępnych reszt niezerowych. Długość okresu jest więc nie większa niż $n-1$, a zatem jest mniejsza od $n$.

Nieskończone rozwinięcie nieokresowe ma dokładnie liczba niewymierna.

a) Upraszczamy liczby wymierne:

\sqrt{\frac{16}{9}}=\frac43.$$ Natomiast $\sqrt8=2\sqrt2$ oraz $\sqrt{\frac34}=\frac{\sqrt3}{2}$ są niewymierne. **b)** Mamy $$\sqrt[3]8=2,\qquad \sqrt[3]{3\frac38}=\sqrt[3]{\frac{27}{8}}=\frac32,qquad \sqrt[3]{\frac{64}{125}}=\frac45.$$ Liczby $\sqrt[3]9$ i $\sqrt[3]{16}$ są niewymierne, bo $9$ i $16$ nie są pełnymi sześcianami.

Korzystamy z rozwinięcia

$\sqrt2=1{,}414213562\ldots$

i zaokrąglamy do tylu miejsc po przecinku, ile wskazuje dokładność.

a) Do jednego miejsca: druga cyfra to $1<5$, więc $\sqrt2\approx1{,}4$.

b) Do dwóch miejsc: trzecia cyfra to $4<5$, więc $\sqrt2\approx1{,}41$.

c) Do czterech miejsc: piąta cyfra to $1<5$, więc $\sqrt2\approx1{,}4142$.

d) Do pięciu miejsc: szósta cyfra to $3<5$, więc $\sqrt2\approx1{,}41421$.