NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 258

a) Po pomnożeniu przez $6$: $2x-2m=3m+12,$ czyli $x=\frac{5m+12}{2}$. Równanie zawsze ma jedno rozwiązanie, a jest ono dodatnie wtedy, gdy $5m+12>0$, zatem $m>-\frac{12}{5}$.

b) Mnożymy przez $4$: $2mx-2m=1-2m\quad\Longrightarrow\quad2mx=1.$ Dla $m=0$ równanie jest sprzeczne. Dla $m\ne0$ mamy $x=\frac1{2m}$, które jest dodatnie dokładnie dla $m>0$.

c) $mx-1=2+2x\quad\Longrightarrow\quad(m-2)x=3.$ Dla $m=2$ równanie jest sprzeczne; dla $m\ne2$ rozwiązanie $x=\frac3{m-2}$ jest dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy $m>2$.

Sprowadzamy równania do postaci $A(m)x=B(m)$.

a) $(2-m)x=6$. Dla $m=2$ brak rozwiązań; dla $m\ne2$ jedno.

b) $(m+3)x=m-2$. Dla $m=-3$ otrzymujemy $0=-5$, więc brak rozwiązań; dla $m\ne-3$ jest jedno rozwiązanie.

c) $(m+1)x=(m-1)(m+1)$. Dla $m=-1$ mamy $0=0$, czyli nieskończenie wiele rozwiązań; dla $m\ne-1$ jedno.

d) $(1-2m)x=(m-\frac12)(m+\frac12)$. Dla $m=\frac12$ obie strony są zerem, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele; poza tym jedno.

e) $(m^2-1)x=m(m+1)$. Dla $m=1$ jest $0=2$ — brak rozwiązań. Dla $m=-1$ jest $0=0$ — nieskończenie wiele. Dla pozostałych $m$ jedno.

f) $m(m+2)x=(m-2)(m+2)$. Dla $m=0$ otrzymujemy $0=-4$ — brak rozwiązań; dla $m=-2$ równanie $0=0$ — nieskończenie wiele; poza tym jedno rozwiązanie.

a) $(2p-q)x=p-4$. Dla $2p\ne q$ jest jedno rozwiązanie. Gdy $2p=q$, otrzymujemy tożsamość tylko dla $p=4,q=8$; dla pozostałych wartości na prostej $2p=q$ równanie jest sprzeczne.

b) $(p-3)x=q-2$. Dla $p\ne3$ jest jedno rozwiązanie. Dla $p=3$: nieskończenie wiele, gdy $q=2$, i brak, gdy $q\ne2$.

c) $(p+q)x=(p-q)(p+q)$. Dla $p=-q$ jest to $0=0$, więc rozwiązań jest nieskończenie wiele; poza tym jedno, $x=p-q$.

d) $(p-q)(p+q)x=p-q$. Dla $p=q$ równanie jest tożsamościowe. Dla $p=-q\ne0$ jest sprzeczne. Jeśli $p\ne q$ i $p\ne-q$, istnieje jedno rozwiązanie.

e) Po rozwinięciu i skróceniu $x^2+pq$: $(p+q)x=0.$ Dla $p=-q$ równanie jest tożsamościowe; poza tym ma jedno rozwiązanie $x=0$.

f) $(2p-q)x=p^2.$ Dla $2p=q$ i $p\ne0$ równanie jest sprzeczne; dla $p=q=0$ — tożsamościowe. Jeśli $2p\ne q$, ma jedno rozwiązanie.

a) Traktując $x$ jako niewiadomą, zapisujemy $(a-2)x=4a-1.$ Dla $a=2$ otrzymujemy $0x=7$, więc równanie jest sprzeczne. Dla $a\ne2$: $x=\frac{4a-1}{a-2}.$

b) Teraz niewiadomą jest $a$: $ax-4a=2x-1,$ czyli $(x-4)a=2x-1.$ Dla parametru $x=4$ powstaje $0a=7$, więc równanie jest sprzeczne. Dla $x\ne4$: $a=\frac{2x-1}{x-4}.$

Końcem podanego przedziału musi być miejsce zerowe lewej strony, a znak współczynnika przy $x$ musi nadawać właściwy kierunek nierówności.

a) Dla rozwiązania $x\le-2$ współczynnik $k-3$ musi być dodatni. Warunek, by $-2$ było zerem, daje $(k-3)(-2)+2=0,$ stąd $k=4$; rzeczywiście $k-3=1>0$.

b) Aby otrzymać $x<3$, funkcja $(k+1)x+6$ musi być malejąca. Z warunku $3(k+1)+6=0$ dostajemy $k=-3$, a $k+1=-2<0$.

c) Po przekształceniu mamy $(k-4)x+3\ge0$. Warunek zera w $x=1$ daje $k=1$, lecz wtedy współczynnik $k-4=-3<0$ i rozwiązaniem jest $(-\infty,1]$, a nie $[1,\infty)$. Taki parametr nie istnieje.

d) Nierówność ma postać $(2-k)x-2<0$. Dla przedziału $x>-4$ współczynnik musi być ujemny, a $-4$ ma być zerem: $(2-k)(-4)-2=0.$ Stąd $2-k=-\frac12$, czyli $k=\frac52$.

a) Miejsce zerowe spełnia $-3x+1-6k=0,$ więc $x_0=\frac{1-6k}{3}=\frac13-2k.$ Warunek $x_0\in[-2,2]$ daje $-2\le\frac13-2k\le2,$ skąd $-\frac56\le k\le\frac76.$

b) Upraszczamy wzór: $f(x)=(x-k)^2-(x+k)^2+k^2=-4kx+k^2.$ Dla $k\ne0$ miejsce zerowe wynosi $x_0=\frac{k}{4}$. Warunek $-2\le\frac{k}{4}\le2$ daje $-8\le k\le8$, a po uwzględnieniu $k\ne0$: $k\in[-8,0)\cup(0,8].$