NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 257

Sprowadzamy każde równanie do postaci $Ax=B$. Gdy $A\ne0$, istnieje jedno rozwiązanie; dla $A=0$ porównujemy prawą stronę z zerem.

a) $(2a-b)x=a^2+1$. Ponieważ $a^2+1>0$, dla $2a=b$ równanie jest sprzeczne, a dla $2a\ne b$ ma jedno rozwiązanie $x=\frac{a^2+1}{2a-b}.$ Dla $a=2,b=-1$: $x=1$.

b) $(a^2+b^2)x=b-2$. Współczynnik zeruje się tylko dla $a=b=0$; wtedy otrzymujemy $0=-2$, więc równanie jest sprzeczne. W pozostałych przypadkach $x=\frac{b-2}{a^2+b^2}.$ Dla $a=2,b=-1$: $x=-\frac35$.

c) $2(3a-b)x=-(3a-b)$. Dla $b=3a$ jest to $0=0$, czyli równanie tożsamościowe. Dla $b\ne3a$ mamy $x=-\frac12$; także dla $a=2,b=-1$.

d) $(a+b)x=b+2$. Gdy $a=-b$, równanie jest tożsamościowe tylko dla $b=-2$ (wtedy $a=2$), a dla $b\ne-2$ jest sprzeczne. Dla $a\ne-b$: $x=\frac{b+2}{a+b}.$ Dla $a=2,b=-1$: $x=1$.

e) $(3a-2b)x=3b+9$. Dla $3a=2b$ otrzymujemy tożsamość, gdy $b=-3,a=-2$; dla pozostałych punktów tej prostej parametrów równanie jest sprzeczne. Jeśli $3a\ne2b$, to $x=\frac{3b+9}{3a-2b}.$ Dla $a=2,b=-1$: $x=\frac34$.

f) $(a-3b)x=b-a$. Dla $a=3b$ równanie jest tożsamościowe tylko przy $a=b=0$, a w pozostałych przypadkach sprzeczne. Dla $a\ne3b$: $x=\frac{b-a}{a-3b}.$ Dla $a=2,b=-1$: $x=-\frac35$.

Wyznaczamy miejsce zerowe i sprawdzamy, kiedy jest ujemne.

a) Dla $m\ne2$ mamy $x_0=\frac4{m-2}$. Jest ujemne wtedy i tylko wtedy, gdy $m-2<0$, czyli $m<2$. Dla $m=2$ funkcja nie ma miejsca zerowego.

b) Dla $m\ne-\frac32$: $x_0=-\frac1{2m+3}<0\quad\Longleftrightarrow\quad2m+3>0,$ czyli $m>-\frac32$.

c) Współczynnik $m^2+1$ jest zawsze dodatni, a $x_0=-\frac{m}{m^2+1}.$ Zatem $x_0<0$ dokładnie dla $m>0$.

d) Dla $m\ne0$: $x_0=\frac{3-m}{m^2}.$ Mianownik jest dodatni, więc $x_0<0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $m>3$. Dla $m=0$ funkcja jest stała i nie ma zera.