Cała strona · Podręcznik · szkoła średnia

NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 256

rozdział 5. Funkcja liniowa · temat „R 5.8. Równania i nierówności liniowe z parametrami” · 2 zadania z rozwiązaniem

Rozwiązania: opracowanie własne

Ćwiczenie 1

W tym zadaniu należy trzy równania rozwiązać w zależności od parametru a i osobno omówić wartości powodujące zanik współczynnika przy x.

3 podpunkty

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

a) Po zebraniu wyrazów z $x$ : $\left(\frac a2-1\right)x=5a.$ Dla $a\ne2$ współczynnik przy $x$ jest niezerowy i $x=\frac{5a}{\frac a2-1}=\frac{10a}{a-2}.$ Dla $a=2$ otrzymujemy $0x=10$ , więc równanie jest sprzeczne.

b) $(a-4)x=a-4.$ Dla $a\ne4$ mamy $x=1$ . Dla $a=4$ powstaje $0x=0$ , czyli równanie tożsamościowe.

c) $(4a^2-1)x=a-\frac12.$ Współczynnik przy $x$ zeruje się dla $a=\pm\frac12$ .

Dla $a\notin\{-\frac12,\frac12\}$ : $x=\frac{a-\frac12}{(2a-1)(2a+1)}=\frac1{4a+2}.$
Dla $a=\frac12$ : $0x=0$ — równanie tożsamościowe.
Dla $a=-\frac12$ : $0x=-1$ — równanie sprzeczne.

Odpowiedź

a) $a=2$ : sprzeczne; $a\ne2$ : $x=\frac{10a}{a-2}$ .
b) $a=4$ : tożsamościowe; $a\ne4$ : $x=1$ .
c) $a=\frac12$ : tożsamościowe; $a=-\frac12$ : sprzeczne; dla pozostałych $a$ : $x=\frac1{4a+2}$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem

Ćwiczenie 2

Zadanie polega na tym, by dla równania liniowego z parametrami a i b podać warunki oznaczające jedno, zero albo nieskończenie wiele rozwiązań.

zgodne z kluczem

Pokaż rozwiązanie

Do zeszytu

Rozpatrujemy współczynnik $a$ przy niewiadomej.

Jeśli $a\ne0$ , możemy podzielić równanie przez $a$ i otrzymujemy jedno rozwiązanie $x=-\frac ba.$
Jeśli $a=0$ , równanie ma postać $b=0$ . Dla $b=0$ jest prawdziwe dla każdego $x$ , więc jest tożsamościowe. Dla $b\ne0$ otrzymujemy zdanie fałszywe, zatem równanie jest sprzeczne.

Odpowiedź

Tożsamościowe dla $a=0,b=0$ ; sprzeczne dla $a=0,b\ne0$ ; jedno rozwiązanie $x=-\frac ba$ dla $a\ne0$ .

Rozwiązanie: opracowanie własneWeryfikacja: zgodne z kluczem