NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 255

Funkcja liniowa $x+y$ przyjmuje wartość największą i najmniejszą w którymś wierzchołku wielokąta (ewentualnie na całym jego boku). Wyznaczamy więc przecięcia prostych ograniczających i obliczamy sumy współrzędnych.

a) Wierzchołki obszaru to $(-3,-2),\ (1,-2),\ (6,8),\ (6,16).$ Wartości $x+y$ wynoszą odpowiednio $-5,\ -1,\ 14,\ 22.$ Zatem minimum to $-5$, a maksimum $22$.

b) Proste ograniczające wyznaczają wierzchołki $(-4,1),\ (-2,5),\ (4,2),\ (1,-4).$ Suma $x+y$ przyjmuje tam wartości $-3,\ 3,\ 6,\ -3.$ Najmniejsza wartość $-3$ jest osiągana na całym boku leżącym na prostej $y=-x-3$, a największa wartość $6$ w punkcie $(4,2)$.

c) Po przekształceniu układu mamy

y\ge-\frac13x-1.$$ Wierzchołki to $$(-3,0),\ (2,5),\ (6,1),\ (6,-3),$$ a wartości sumy: $$-3,\ 7,\ 7,\ 3.$$ Minimum wynosi $-3$. Maksimum $7$ jest osiągane na całym boku od $(2,5)$ do $(6,1)$, należącym do prostej $x+y=7$.