NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 254

Najpierw zapisujemy układy w postaci kierunkowej i podstawiamy współrzędne wskazanych punktów.

a)

\end{cases}$$ Jest to obszar nad poziomą prostą $y=-3$ i pod prostą $y=x+1$, wraz z obiema krawędziami. Warunki spełniają $P(6,1)$ i $R(8,-3)$; punkt $Q$ nie spełnia pierwszej nierówności. **b)** $$\begin{cases}y<x+1,\\y>x-5. \end{cases}$$ Otrzymujemy otwarty pas między prostymi równoległymi. Punkt $P$ leży na dolnej krawędzi, a $Q$ i $R$ poza pasem, więc żaden nie należy do zbioru. **c)** $$\begin{cases}y\ge-2x-1,\\y<-\frac12x+\frac72. \end{cases}$$ Zaznaczamy obszar nad pierwszą prostą (krawędź ciągła) i pod drugą (krawędź przerywana). Tylko $R(8,-3)$ spełnia oba warunki. Punkt $Q$ leży na wyłączonej drugiej krawędzi.

a) Krawędzie przecinają się w $(0,4)$. Prosta o mniejszym nachyleniu przechodzi też przez $(4,0)$, więc ma równanie $y=-x+4$. Druga przechodzi przez $(1,0)$, zatem $y=-4x+4$. Obie są ciągłe, a obszar leży pod pierwszą i nad drugą:

\end{cases}$$ **b)** Pas ograniczają równoległe proste $y=-x+2$ i $y=-x-1$. Górna krawędź jest wyłączona, dolna należy do obszaru: $$\begin{cases}y<-x+2,\\y\ge-x-1. \end{cases}$$ **c)** Ukośna przerywana krawędź przechodzi przez $(0,1)$ i $(-2,0)$, więc ma równanie $y=\frac12x+1$. Druga przerywana krawędź to $x=2$. Zacieniowano punkty poniżej pierwszej i na lewo od drugiej: $$\begin{cases}y<\frac12x+1,\\x<2. \end{cases}$$

Ponieważ chodzi o punkty leżące wewnątrz trójkąta, wszystkie trzy nierówności są ostre.

a) Prosta $AB$ ma równanie $y=-x+3$, prosta $AC$: $y=\frac12x+\frac32$, a bok $BC$ leży na $x=5$. Punkt wewnętrzny, np. środek ciężkości, wskazuje właściwe strony krawędzi:

y<\frac12x+\frac32,\\ y>-x+3,\\ x<5. \end{cases}$$ **b)** Równania boków wynoszą odpowiednio $AB:y=-x+1$, $BC:y=x+1$, $AC:y=-\frac12x+4$. Wnętrze opisuje układ $$\begin{cases} y>-x+1,\\ y>x+1,\\ y<-\frac12x+4. \end{cases}$$

Wierzchołki są punktami przecięcia par prostych będących krawędziami.

a) Krawędzie mają równania $y=x$, $y=-x+6$, $x=-1$. Ich przecięcia to $(-1,-1),\quad(-1,7),\quad(3,3).$

b) Krawędzie: $y=-3x+12,\qquad y=\frac32x+3,\qquad y=-3.$ Przecinając je parami, otrzymujemy $(-4,-3),\quad(5,-3),\quad(2,6).$

c) Krawędzie: $y=-x-3,\qquad y=2x-6,\qquad y=\frac12x+\frac32.$ Punkty przecięcia to $(1,-4),\quad(5,4),\quad(-3,0).$ Każdy z zestawów spełnia odpowiedni układ, więc wyznacza szukany domknięty trójkąt.

Wszystkie krawędzie na rysunku są ciągłe, więc nierówności są nieostre.

a) Boki pionowe leżą na $x=-2$ i $x=3$. Górna prosta przechodzi przez $(-2,3)$ i $(3,0)$, a dolna przez $(-2,0)$ i $(3,-3)$; obie mają nachylenie $-\frac35$. Stąd

x\le3,\\x\ge-2,\\ y\le-\frac35x+\frac95,\\ y\ge-\frac35x-\frac65. \end{cases}$$ **b)** Pionowe krawędzie to $x=-3$ i $x=3$. Górny bok ma równanie $y=\frac13x+2$, dolny $y=-\frac13x-2$: $$\begin{cases} x\le3,\\x\ge-3,\\ y\le\frac13x+2,\\ y\ge-\frac13x-2. \end{cases}$$ **c)** Dwie pary boków są równoległe. Z odczytanych punktów otrzymujemy proste o nachyleniach $\frac35$ oraz $3$: $$\begin{cases} y\le\frac35x+\frac65,\\ y\ge\frac35x-\frac65,\\ y\ge3x-6,\\ y\le3x+6. \end{cases}$$

Mamy $A:\ y>2,\qquad B:\ y>-x+6,\qquad C:\ y<x+2.$ Przy odejmowaniu zbioru używamy dopełnienia; dlatego $B^c:\ y\le-x+6$ oraz $C^c:\ y\ge x+2$.

a) $A\cap B\cap C=\{(x,y):y>2,\ y>-x+6,\ y<x+2\}.$ Jest to obszar pomiędzy trzema przerywanymi krawędziami; jego załamania graniczne wypadają w $(2,4)$ i $(4,2)$.

b) $(A\cap C)\setminus B=\{(x,y):y>2,\ y<x+2,\ y\le-x+6\}.$ Powstaje wnętrze trójkąta o granicznych wierzchołkach $(0,2),(2,4), (4,2)$; bok pochodzący z $B^c$ jest włączony, lecz wierzchołki są wyłączone przez pozostałe nierówności ostre.

c)

(y>2\ \text{lub}\ y>-x+6)\}.$$ Na lewo od $(0,2)$ dolną granicą jest wyłączona prosta $y=2$, a na prawo — włączona półprosta $y=x+2$; sam punkt $(0,2)$ jest wyłączony. **d)** $$(A\setminus C)\cup B=\{(x,y):(y>2\ \text{oraz}\ y\ge x+2) \ \text{lub}\ y>-x+6\}.$$ Dolna granica składa się kolejno z $y=2$, $y=x+2$ i $y=-x+6$. Punkt $(0,2)$ jest wyłączony, natomiast $(2,4)$ należy do zbioru dzięki części $A\setminus C$.