NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 251

Wierzchołki są punktami przecięcia każdej prostej z jednej pary równoległych z każdą prostą z drugiej pary.

a) Dla $y=x-2$, $y=x-6$ oraz $y=-3$, $y=2$ otrzymujemy kolejno

$(-1,-3),\quad(3,-3),\quad(8,2),\quad(4,2).$

b) Przecinając proste o nachyleniu $\frac12$ z prostymi o nachyleniu $-2$, otrzymujemy

$(-2,-3),\quad(4,0),\quad(2,4),\quad(-4,1).$

c) Zapisujemy proste w postaci

\quad y=\frac12x+7.$$ Ich odpowiednie przecięcia to $$(-2,-4),\quad\left(\frac25,-\frac{14}{5}\right),\quad \left(\frac{22}{5},\frac{46}{5}\right),\quad(2,8).$$

Dwie proste o nachyleniu $\frac13$ zawierają podstawy trapezu. Punkt

$B=(6,0)$

jest przecięciem $y=\frac13x-2$ z osią $OX$.

Przecięcie tej samej prostej z $y=2x+3$ daje $A=(-3,-3)$, a przecięcie $y=\frac13x+\frac43$ z $y=2x+3$ daje $D=(-1,1)$.

Czwarty bok jest prostopadły do podstaw, więc ma nachylenie $-3$ i przechodzi przez $B$:

$y=-3x+18.$

Jego przecięcie z $y=\frac13x+\frac43$ to $C=(5,3)$.

Z rysunku odczytujemy

$A=(-3,-1),\quad B=(3,-1),\quad C=(7,7),\quad D=(1,7).$

a) Punkt $P$ spełnia równania $y=2x+5$ i $y=-x+2$. Stąd $x=-1$, $y=3$, czyli $P=(-1,3)$. Odcinek $AB$ ma długość $6$, a odległość $P$ od prostej $AB:y=-1$ wynosi $4$. Zatem

$P_{ABP}=\frac12\cdot6\cdot4=12.$

b) Punkt $Q$ spełnia równania $y=2x-7$ i $y=-2x+7$, więc $Q=(\frac72,0)$. Pole czworokąta $ABQD$ liczymy wzorem współrzędnościowym:

$$P_{ABQD}=\frac12\left| (-3)(-1)+3\cdot0+\frac72\cdot7+1\cdot(-1) -\left[(-1)3+(-1)\frac72+0\cdot1+7(-3)\right] \right|=27.$$

Prosta $y=-\frac34x+3$ przecina osie w punktach $(4,0)$ i $(0,3)$. Punkt $(4,0)$ leży również na przeciwprostokątnej $y=\frac12x-2$, zatem $B=(4,0)$ i $C=(0,3)$.

Bok $AC$ jest prostopadły do $BC$, więc ma nachylenie $\frac43$ i przechodzi przez $C$:

$AC:y=\frac43x+3.$

Jego przecięcie z $AB:y=\frac12x-2$ spełnia

$\frac43x+3=\frac12x-2,$

skąd $x=-6$ i $y=-5$.

Przekątna $BD$ jest prostopadła do $AC$, ma więc nachylenie $-\frac43$. Ponieważ przechodzi przez $B=(-1,-8)$, jej równanie ma postać

$BD:y=-\frac43x-\frac{28}{3}.$

Punkt przecięcia przekątnych $O$ wyznaczamy z równania

$\frac34x-1=-\frac43x-\frac{28}{3}.$

Po pomnożeniu przez $12$ otrzymujemy $9x-12=-16x-112$, zatem $x=-4$ i $y=-4$. Tak więc $O=(-4,-4)$.

Wektor $\overrightarrow{OB}=(3,-4)$ ma długość $5$. Połowa przekątnej $AC$ ma tę samą długość i kierunek $(4,3)$, zgodny z nachyleniem $\frac34$. Jej końce to

$(-4,-4)+(4,3)=(0,-1),$

$(-4,-4)-(4,3)=(-8,-7).$

Jeden z wierzchołków $A,C$ leży więc na osi $OY$. Czwarty wierzchołek jest odbiciem $B$ względem $O$:

$D=2O-B=(-7,0),$

czyli leży na osi $OX$.

a) Punkty przecięcia kolejnych par prostych to

$(-2,2),\quad(2,6),\quad(6,-2).$

Ze wzoru współrzędnościowego:

$$P=\frac12\left|(-2)\cdot6+2\cdot(-2)+6\cdot2 -\left[(-2)(-2)+2\cdot2+6\cdot6\right]\right|=24.$$

b) Punkty przecięcia prostych to

$(3,7),\quad(0,-2),\quad(-6,1).$

Zatem

$$P=\frac12\left|3\cdot(-2)+0\cdot1+(-6)\cdot7 -\left[7\cdot0+(-2)(-6)+1\cdot3\right]\right| =\frac{63}{2}=31{,}5.$$