NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 250

Sprowadzamy równania do postaci kierunkowej. Te same rachunki wyznaczają punkt przecięcia, który następnie można odczytać z wykresu.

a) $\frac13x+3=-x+7$, więc $x=3$, $y=4$.

b) Proste mają równania $y=-2x+2$ i $y=-\frac34x-3$. Po ich przyrównaniu otrzymujemy $x=4$, $y=-6$.

c) Otrzymujemy $y=\frac32x-2$ i $y=3x-5$, zatem $x=2$, $y=1$.

d) Otrzymujemy $y=2x+4$ i $y=\frac92x+\frac32$. Stąd $x=1$, $y=6$.

e) Oba równania są równoważne równaniu

$y=\frac23x-2.$

Proste się pokrywają, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań: $x\in\mathbb R$, $y=\frac23x-2$.

f) Równania opisują różne proste równoległe:

$y=-\frac13x+3,\qquad y=-\frac13x-3.$

Układ jest sprzeczny.

Przekształcamy równania do postaci kierunkowej i odczytujemy wzajemne położenie prostych.

a) $y=-\frac32x+\frac92$ oraz $y=\frac12x-\frac32$ przecinają się w $(3,0)$. Sprawdzenie: $3\cdot3+2\cdot0=9$ i $3=3+2\cdot0$.

b) $y=2x-2$ oraz $y=\frac23x+2$ przecinają się w $(3,4)$.

c) $y=-\frac14x+\frac12$ oraz $y=2-x$ przecinają się w $(2,0)$.

d) $y=6-2x$ oraz $y=3x+1$ przecinają się w $(1,4)$.

e) Proste $y=6x+2$ i $y=6x+3$ są równoległe i różne, więc układ jest sprzeczny.

f) Oba równania są równoważne równaniu $y=\frac12x+\frac12$. Układ jest nieoznaczony: $x\in\mathbb R$, $y=\frac12x+\frac12$.

Wystarczy dobrać równania o takim wzajemnym położeniu wykresów jak na schematach. Przykładowo:

a) różne współczynniki kierunkowe zapewnią jedno przecięcie;

$$\begin{cases} y=x,\\ y=-x; \end{cases}$$

b) ten sam współczynnik kierunkowy i różne wyrazy wolne dadzą proste równoległe;

$$\begin{cases} y=x,\\ y=x+1; \end{cases}$$

c) równania równoważne opiszą tę samą prostą;

$$\begin{cases} y=x,\\ 2y=2x. \end{cases}$$

Współczynniki $a_1,a_2$ określają nachylenie prostych, a $b_1,b_2$ — ich punkty przecięcia z osią $OY$.

a) Układ jest nieoznaczony, gdy obie proste się pokrywają, czyli $a_1=a_2$ i $b_1=b_2$.

b) Układ jest sprzeczny, gdy proste są równoległe i różne, czyli $a_1=a_2$ i $b_1\ne b_2$.

c) Układ jest oznaczony, gdy proste mają różne nachylenia, czyli $a_1\ne a_2$; wartości $b_1,b_2$ są wtedy dowolne.

a) Proste mają postacie

$y=x-2,\qquad y=-\frac{k}{2}x+2.$

Ich nachylenia są różne dla $k\ne-2$, więc wtedy układ jest oznaczony. Dla $k=-2$ otrzymujemy $y=x-2$ i $y=x+2$: układ jest sprzeczny.

b) Wyznacznik współczynników wynosi

$$\begin{vmatrix}2&1\\1&k\end{vmatrix}=2k-1.$$

Układ jest oznaczony dla $k\ne\frac12$. Dla $k=\frac12$ drugie równanie po pomnożeniu przez $2$ jest identyczne z pierwszym, więc układ jest nieoznaczony.

c) Wyznacznik współczynników wynosi

$$\begin{vmatrix}4&-1\\1&-k^2\end{vmatrix}=1-4k^2.$$

Układ jest oznaczony dla $k\notin\{-\frac12,\frac12\}$. Gdy $k=-\frac12$, drugie równanie pomnożone przez $4$ ma postać $4x-y=-1$, więc pokrywa się z pierwszym — układ jest nieoznaczony. Dla $k=\frac12$ otrzymujemy natomiast $4x-y=1$, czyli prostą równoległą i różną od $4x-y=-1$; układ jest sprzeczny.