NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 249

a) Po przekształceniu otrzymujemy

$$\begin{cases} y=x+1,\\ y=x+3. \end{cases}$$

Są to różne proste równoległe, więc układ jest sprzeczny.

b) Oba równania prowadzą do tej samej postaci:

$y=2x-6.$

Wykresy pokrywają się, zatem układ jest nieoznaczony, a wszystkie jego rozwiązania mają postać $(x,2x-6)$ dla $x\in\mathbb R$.

c) Równania opisują proste

$y=\frac32x+1\quad\text{oraz}\quad y=\frac32x-2.$

Mają one ten sam współczynnik kierunkowy i różne wyrazy wolne, więc układ jest sprzeczny.

a) Lewa strona drugiego równania jest dwukrotnością lewej strony pierwszego, ale $6\ne2\cdot1$. Równania opisują więc dwie różne proste równoległe — układ jest sprzeczny.

b) Drugie równanie powstaje przez pomnożenie pierwszego przez $-1$. Oba opisują tę samą prostą, zatem układ jest nieoznaczony.

c) Współczynniki przy niewiadomych nie są proporcjonalne, ponieważ

$\frac{2}{-3}\ne\frac11.$

Proste mają różne współczynniki kierunkowe, więc przecinają się w jednym punkcie — układ jest oznaczony.