NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 247

a) Współczynniki przeciwległych boków $AB$ i $CD$ wynoszą

$$a_{AB}=\frac{\frac32-(-3)}{7-(-5)}=\frac38, \qquad a_{CD}=\frac{2-5}{-3-5}=\frac38.$$

Zatem $AB\parallel CD$, więc czworokąt jest trapezem. Nachylenia ramion to

$a_{AD}=\frac52,\qquad a_{BC}=-\frac74.$

Żaden z iloczynów $\frac38\cdot\frac52$ i $\frac38\cdot(-\frac74)$ nie jest równy $-1$, więc żadne ramię nie jest prostopadłe do podstaw. Trapez nie jest prostokątny.

b) Ponownie

$$\qquad a_{CD}=\frac{1-\frac72}{-4-\frac72}=\frac13,$$

więc $AB\parallel CD$. Ponadto

$a_{AD}=\frac{1-(-2)}{-4-(-3)}=-3,$

a $\frac13\cdot(-3)=-1$. Ramię $AD$ jest prostopadłe do obu podstaw, zatem jest to trapez prostokątny.

a)

$$a_{PQ}=a_{RS}=-\frac32, \qquad a_{QR}=a_{PS}=\frac23.$$

Przeciwległe boki są parami równoległe, a sąsiednie nachylenia spełniają $(-\frac32)\cdot\frac23=-1$. Czworokąt jest więc równoległobokiem z kątem prostym, czyli prostokątem.

b)

$$a_{PQ}=a_{RS}=-\frac37, \qquad a_{QR}=a_{PS}=\frac73.$$

Także tutaj przeciwległe boki są równoległe, a $(-\frac37)\cdot\frac73=-1$, więc czworokąt jest prostokątem.

Współczynnik przekątnej $AC$ wynosi

$a_{AC}=\frac{8-0}{2-0}=4,$

a współczynnik przekątnej $BD$ jest równy $-\frac14$. Ich iloczyn to $-1$, więc przekątne są prostopadłe. W prostokącie przekątne są równe i przecinają się w połowie. Prostopadłość dzieli go zatem na cztery przystające trójkąty prostokątne, co daje równość wszystkich boków. Prostokąt jest kwadratem.

Długość przekątnej

$d=|AC|=\sqrt{(2-0)^2+(8-0)^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}.$

Dla kwadratu $d=s\sqrt2$, więc

$s=\frac{2\sqrt{17}}{\sqrt2}=\sqrt{34}.$

Stąd obwód wynosi $4\sqrt{34}$, a pole $34$.

a) Punkt $B(-5,-5)$ leży na prostej $y=3x+10$, a punkt $C$ nie, więc przeciwprostokątną jest $AB$, a kąt prosty leży przy $C$. Nachylenie przyprostokątnej $BC$ wynosi

$a_{BC}=\frac{-1-(-5)}{3-(-5)}=\frac12.$

Zatem prosta $AC$ ma nachylenie $-2$ i przechodzi przez $C(3,-1)$:

$AC:y=-2x+5.$

Punkt $A$ jest przecięciem $AC$ i $AB$:

$-2x+5=3x+10,$

stąd $x=-1$, $y=7$.

b) Ponieważ $AB\parallel OY$, punkt $B$ ma pierwszą współrzędną $-5$. Dana prosta $y=-3x-11$ przechodzi przez $A(-5,4)$, jest więc wysokością opuszczoną z $A$ i jest prostopadła do $BC$. Zatem $a_{BC}=\frac13$. Prosta $BC$ przechodząca przez $C(4,-3)$ ma równanie

$y+3=\frac13(x-4).$

Dla $x=-5$ otrzymujemy $y=-6$, czyli $B(-5,-6)$.

Prosta przechodząca przez $(2,4)$ i $(-6,0)$ ma nachylenie

$a_1=\frac{4-0}{2-(-6)}=\frac12$

i równanie $l_1:y=\frac12x+3$. Prosta prostopadła ma nachylenie $-2$; z warunku przejścia przez $(2,4)$ otrzymujemy $l_2:y=-2x+8$.

Proste przecinają oś $OX$ w punktach $(-6,0)$ i $(4,0)$. Trójkąt ograniczony osią $OX$ ma zatem podstawę $10$ i wysokość $4$:

$P_x=\frac12\cdot10\cdot4=20.$

Na osi $OY$ punkty przecięcia to $(0,3)$ i $(0,8)$. Podstawa drugiego trójkąta ma długość $5$, a odległość punktu $(2,4)$ od osi $OY$ wynosi $2$:

$P_y=\frac12\cdot5\cdot2=5.$

Procentowy wzrost wynosi

$\frac{20-5}{5}\cdot100\%=300\%.$

Stosujemy podane kryterium.

a) Współczynniki przy $x$ i $y$ wynoszą odpowiednio $(A_1,B_1)=(3,-4)$ oraz $(A_2,B_2)=(\frac23,\frac12)$. Zatem

$A_1A_2+B_1B_2=3\cdot\frac23+(-4)\cdot\frac12=2-2=0,$

więc proste są prostopadłe.

b) Tym razem

=3-4=-1\ne0,$$ więc proste nie są prostopadłe.

Korzystamy z warunku $A_1A_2+B_1B_2=0$.

a) Dla prostych mamy $(A_1,B_1)=(1,m)$ i $(A_2,B_2)=(0{,}1,-0{,}02)$. Stąd

$1\cdot0{,}1+m\cdot(-0{,}02)=0,$

$0{,}1-0{,}02m=0,$

czyli $m=5$.

b) Współczynniki wynoszą $(A_1,B_1)=(4,-9)$ oraz $(A_2,B_2)=(4m^2-4,-m^2)$. Warunek prostopadłości daje

$4(4m^2-4)+(-9)(-m^2)=0,$

$16m^2-16+9m^2=0,$

$25m^2=16,$

zatem $m=\pm\frac45$.