NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 246

Wyznaczamy ujemną odwrotność nachylenia prostej $l$ i podstawiamy punkt $P$.

a) Nachylenie wynosi $\frac13$. Z $-2=\frac13\cdot3+b$ otrzymujemy $b=-3$.

b) Nachylenie wynosi $-\frac32$. Z $1=-\frac32\cdot4+b$ mamy $b=7$.

c) Nachylenie wynosi $\frac34$. Z $-2=\frac34\cdot(-4)+b$ mamy $b=1$.

d) Nachylenie prostopadłe do $\frac72$ wynosi $-\frac27$. Z $-4=-\frac27\cdot14+b$ otrzymujemy $b=0$.

a)

$AB:y=-x+6,\qquad BC:y=x-2,\qquad AC:y=5.$

Ponieważ $a_{AB}a_{BC}=(-1)\cdot1=-1$, kąt przy $B$ jest prosty.

b)

$AB:y=-x-3,\qquad BC:y=2x-3,\qquad AC:y=x+1.$

Proste $AB$ i $AC$ mają nachylenia $-1$ i $1$, więc są prostopadłe; kąt przy $A$ jest prosty.

c)

\qquad AC:y=x+5.$$ Żadne dwie proste nie tworzą pary pionowa–pozioma ani nie mają iloczynu nachyleń $-1$, więc trójkąt nie jest prostokątny. **d)** $$AB:y=x+\frac32,\qquad BC:y=-\frac12, \qquad AC:x=\frac92.$$ $BC$ jest pozioma, a $AC$ pionowa, zatem kąt przy $C$ jest prosty.

Przekątne rombu przecinają się w połowie i są prostopadłe.

a) Punkty $A,C$ wyznaczają pierwszą przekątną. Jej nachylenie to $1$, a równanie

$AC:y=x-4.$

Środek $AC$ ma współrzędne $(3,-1)$. Druga przekątna ma nachylenie $-1$ i przechodzi przez ten środek, więc

$BD:y=-x+2.$

b) Tu znamy końce przekątnej $BD$. Jej środek to $(0,1)$, a współczynnik kierunkowy

$a_{BD}=\frac{3-(-1)}{-6-6}=-\frac13.$

Zatem $BD:y=-\frac13x+1$. Prostopadła przekątna $AC$ przechodzi przez $(0,1)$ i ma nachylenie $3$, więc $AC:y=3x+1$.

Szukana prosta przechodzi przez $(-2,0)$, ponieważ $-2$ jest jej miejscem zerowym.

a) Dana prosta ma postać $y=-\frac32x-3$, więc nachylenie prostej prostopadłej wynosi $\frac23$. Z $0=\frac23\cdot(-2)+b$ otrzymujemy $b=\frac43$.

b) Po przekształceniu równania dostajemy $y=4x-10$. Nachylenie prostopadłe to $-\frac14$, a warunek przejścia przez $(-2,0)$ daje $b=-\frac12$.

c) Dana prosta ma równanie $y=\frac23x-\frac83$. Nachylenie prostopadłe wynosi $-\frac32$, a $0=-\frac32\cdot(-2)+b$ daje $b=-3$.

a) Prosta $y=-3$ jest pozioma. Prosta do niej prostopadła jest pionowa, a przechodząc przez $P(6,-5)$ ma równanie $x=6$.

b) Prosta $x=-3$ jest pionowa. Prostopadła do niej prosta pozioma przechodząca przez $P$ ma równanie $y=-5$.

c) Tak samo prosta $x=-2\sqrt3$ jest pionowa, więc szukana prosta ma równanie $y=-5$.