NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 245

Sprawdzamy, czy iloczyn współczynników kierunkowych jest równy $-1$.

a)

$-0{,}3\cdot3\frac13=-\frac3{10}\cdot\frac{10}{3}=-1,$

więc proste są prostopadłe.

b)

$-1{,}5\cdot\frac23=-\frac32\cdot\frac23=-1,$

więc proste są prostopadłe.

c)

=\frac37\cdot\left(-\frac72\right)=-\frac32\ne-1,$$ więc proste nie są prostopadłe.

Współczynnik prostej prostopadłej do prostej o niezerowym nachyleniu $a$ jest równy $-\frac1a$.

$$\text{a)}\quad -\frac1{\frac15}=-5, \qquad \text{b)}\quad -\frac19,$$ $$\text{c)}\quad -\frac1{-\frac73}=\frac37,$$ $$\text{d)}\quad -\frac1{\frac{\sqrt2}{6}} =-\frac6{\sqrt2}=-3\sqrt2.$$

Skoro proste $y=a_1x$ i $y=a_2x$ są prostopadłe, to

$a_1a_2=-1.$

Dodanie wyrazu wolnego przesuwa prostą równolegle i nie zmienia jej współczynnika kierunkowego. Proste $y=a_1x+b_1$ oraz $y=a_2x+b_2$ mają więc nadal współczynniki $a_1,a_2$, których iloczyn jest równy $-1$. Zatem są prostopadłe dla dowolnych $b_1,b_2$.

a) Nachylenie prostopadłe do $-3$ wynosi $\frac13$. Szukana prosta ma postać $y=\frac13x+b$. Z $P(0,-1)$ otrzymujemy $b=-1$.

b) Ponieważ $-0{,}1=-\frac1{10}$, nachylenie prostopadłe wynosi $10$. Z $9=10\cdot1+b$ mamy $b=-1$.

c) Nachylenie prostopadłe do $\frac37$ wynosi $-\frac73$. Z warunku $2=-\frac73\cdot3+b$ otrzymujemy $b=9$.