NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 242

Przekątne leżą na prostych $AC$ i $BD$. Ich współczynniki wynoszą

$$a_{AC}=\frac{1-m^2-4}{4-(-2)}=\frac{-m^2-3}{6},$$ $$a_{BD}=\frac{4-(-2)}{0-(-3)}=2.$$

Mają być liczbami przeciwnymi, więc $a_{AC}=-2$:

$$\frac{-m^2-3}{6}=-2 \iff -m^2-3=-12 \iff m^2=9.$$

Równanie kierunkowe rozważanej prostej ma postać $y=ax+b$. Ponieważ punkt $(x_1,y_1)$ do niej należy, zachodzi także

$y_1=ax_1+b.$

Odejmujemy tę równość od pierwszej:

$$y-y_1=(ax+b)-(ax_1+b)=a(x-x_1).$$

Otrzymaliśmy żądaną postać.

Prosta równoległa zachowuje współczynnik kierunkowy $a$ prostej $l$. Do wzoru $y-y_1=a(x-x_1)$ podstawiamy współrzędne punktu $P$:

$$\text{a)}\quad y-1=2(x-2),$$ $$\text{b)}\quad y+5=7(x+3),$$ $$\text{c)}\quad y+9=-\frac73(x-2),$$ $$\text{d)}\quad y-\sqrt2=\sqrt2(x+1).$$

Skoro prosta nie jest równoległa do osi $OY$, to $x_2\ne x_1$ i jej współczynnik kierunkowy istnieje:

$a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$

Dla dowolnego innego punktu $(x,y)$ tej prostej, dla którego $x\ne x_1$, współczynnik wyznaczony z punktów $(x_1,y_1)$ i $(x,y)$ musi być taki sam. Zatem

$$\frac{y-y_1}{x-x_1}=a= \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.$$

Po usunięciu mianowników otrzymujemy równoważną postać

$$(y-y_1)(x_2-x_1)=(y_2-y_1)(x-x_1),$$

która obejmuje również punkt $(x_1,y_1)$. Sama postać ilorazowa jest w tym punkcie formalnie nieokreślona, dlatego należy ją rozumieć poprzez powyższą równość bez mianowników.

Z wykresu mamy $O(0,0)$, $A(1,60)$, $B(3,300)$ i $C(5,420)$.

a)

$$a_{OA}=\frac{60-0}{1-0}=60,$$

więc w pierwszej godzinie średnia prędkość wynosiła $60$ km/h. Dla dwóch ostatnich godzin:

$$a_{BC}=\frac{420-300}{5-3}=60,$$

czyli również $60$ km/h.

b)

$$a_{OC}=\frac{420-0}{5-0}=84.$$

Jest to średnia prędkość samochodu podczas całej pięciogodzinnej jazdy.