NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 241

Z rysunku odczytujemy $A(-5,0)$, $B(1,-2)$ i $C(3,4)$. Następnie obliczamy:

$$a_{AB}=\frac{-2-0}{1-(-5)}=-\frac13,$$ $$a_{BC}=\frac{4-(-2)}{3-1}=3,$$ $$a_{AC}=\frac{4-0}{3-(-5)}=\frac12.$$

Stosujemy wzór na współczynnik kierunkowy do kolejnych boków:

$$a_{AB}=\frac{1-(-2)}{2-(-4)}=\frac12, \qquad a_{BC}=\frac{3-1}{0-2}=-1,$$ $$a_{CD}=\frac{4-3}{-5-0}=-\frac15, \qquad a_{AD}=\frac{4-(-2)}{-5-(-4)}=-6.$$

Obliczamy $a$ z obu punktów, a potem wyraz wolny $b$.

a) $a=\frac{6-4}{7-3}=\frac12$, a z $4=\frac12\cdot3+b$ otrzymujemy $b=\frac52$.

b) $a=\frac{-1-7}{2-(-2)}=-2$; z punktu $P$ mamy $b=3$.

c)

$a=\frac{-1-1}{\frac12-\frac13}=-12,$

a z $1=-12\cdot\frac13+b$ wynika $b=5$.

d) $a=\frac{\frac13-\frac73}{2-3}=2$; stąd $b=\frac73-6=-\frac{11}{3}$.

e) Obie wartości $y$ są równe, więc $a=0$ i prosta ma równanie $y=-6$.

f)

$a=\frac{10-4}{3\sqrt3-\sqrt3}=\frac6{2\sqrt3}=\sqrt3,$

a z $4=\sqrt3\cdot\sqrt3+b$ wynika $b=1$.

a) Dla punktów odczytanych z pierwszego rysunku otrzymujemy

$$a_{AB}=\frac{0-(-2)}{3-(-4)}=\frac27, \qquad a_{AD}=\frac{2-(-2)}{-2-(-4)}=2.$$

Po podstawieniu punktów do $y=ax+b$:

$$AB:y=\frac27x-\frac67, \qquad AD:y=2x+6.$$

Analogicznie

$$BC:y=2x-6, \qquad CD:y=\frac27x+\frac{18}{7}.$$

Zatem $a_{AB}=a_{CD}$ oraz $a_{AD}=a_{BC}$, więc przeciwległe boki są równoległe.

b) Z drugiego rysunku:

$$a_{AB}=a_{CD}=-\frac27, \qquad a_{AD}=a_{BC}=-\frac53.$$

Równania boków to

$$AB:y=-\frac27x-\frac97, \qquad AD:y=-\frac53x-\frac83,$$ $$BC:y=-\frac53x+7, \qquad CD:y=-\frac27x+\frac{20}{7}.$$

Znów obie pary przeciwległych boków są równoległe, więc czworokąt jest równoległobokiem.

a)

$$a_{PQ}=\frac{1-(-5)}{9-0}=\frac23, \quad a_{QR}=\frac{11-1}{6-9}=-\frac{10}{3},$$ $$a_{RS}=\frac{3-11}{-6-6}=\frac23, \quad a_{PS}=\frac{3-(-5)}{-6-0}=-\frac43.$$

Tylko $PQ\parallel RS$, ponieważ mają współczynnik $\frac23$; druga para przeciwległych boków nie jest równoległa. Jest to trapez, ale nie równoległobok.

b)

$$a_{PQ}=-\frac72, \quad a_{QR}=-\frac25, \quad a_{RS}=\frac53, \quad a_{PS}=-\frac25.$$

Tutaj $QR\parallel PS$, natomiast $PQ\not\parallel RS$, więc wniosek jest taki sam.

a) Współczynnik prostej $AB$ wynosi

$a_{AB}=\frac{2-(-3)}{9-(-1)}=\frac12.$

Dla $CD$ mamy

$a_{CD}=\frac{m-4}{1-5}=\frac{4-m}{4}.$

Warunek równoległości daje $\frac{4-m}{4}=\frac12$, stąd $m=2$.

b)

$$a_{AB}=\frac{-m-m}{4-9}=\frac{2m}{5}, \qquad a_{CD}=\frac{6-2}{3-9}=-\frac23.$$

Z równania $\frac{2m}{5}=-\frac23$ otrzymujemy $m=-\frac53$.

Współczynnik kierunkowy prostej $KL$ to

$a_{KL}=\frac{-1-5}{4-(-4)}=-\frac34.$

Dla $m\ne0$ współczynnik prostej $MN$ wynosi

$a_{MN}=\frac{\frac14m-8}{m}.$

Z warunku równoległości

$$\frac{\frac14m-8}{m}=-\frac34$$

po pomnożeniu przez $4m$ otrzymujemy $m-32=-3m$, zatem $m=8$. Wartość ta spełnia $m\ne0$.