NOWA MATeMAtyka 1. Zakres podstawowy i rozszerzony — strona 237

a) Dodając pierwsze dwa równania, otrzymujemy $6x=6$, więc $x=1$. Pierwsze równanie daje wtedy $z-y=2$, czyli $z=y+2$. Po podstawieniu do trzeciego:

b) Odejmując pierwsze równanie od trzeciego, dostajemy $-2z=2$, zatem $z=-1$. Pozostaje układ

z którego $x=-2$, $y=5$.

Płaszczyzna zawierająca dwie osie współrzędnych jest płaszczyzną wyznaczoną przez te osie. Trzecia współrzędna każdego jej punktu wynosi zero:

• dla osi $OX$ i $OY$ zerowa jest współrzędna $z$;
• dla osi $OX$ i $OZ$ zerowa jest współrzędna $y$;
• dla osi $OY$ i $OZ$ zerowa jest współrzędna $x$.

a) Dla równania $Ax+By+Cz+D=0$ podstawienie trzech punktów prowadzi do proporcji $A:B:C=2:1:1$. Z punktu $A(1,1,0)$ mamy $2+1+D=0$, więc $D=-3$.

b) Wektory

mają iloczyn wektorowy proporcjonalny do $(3,2,-1)$, więc jest to wektor normalny płaszczyzny. Z punktu $A(2,0,2)$:

Współrzędne wierzchołków pokazują, że prostopadłościan rozciąga się od $0$ do $1$ w kierunku osi $OX$, od $0$ do $2$ w kierunku $OY$ i od $0$ do $3$ w kierunku $OZ$. Każda para przeciwległych ścian ma więc stałą jedną współrzędną.